1.52 •• O maser de hidrogênio. Um maser é um dispositivo tipo laser, que produz ondas eletromagnéticas com frequências nas faixas de micro-ondas e ondas de rádio do espectro eletromagnético. As ondas de rádio geradas por um maser de hidrogênio podem ser usadas como um padrão de frequência. A frequência dessas ondas é igual a 1.420 .405 .751,786 hertz. (Um hertz é o mesmo que um ciclo por segundo.) Um relógio controlado por um maser de hidrogênio pode atrasar ou adiantar apenas 1 s em 100.000 anos. Para as respostas às perguntas seguintes, use apenas três algarismos significativos. (O grande número de algarismos significativos nessa frequência simplesmente ilustra a impressionante exatidão de sua medida.) (a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo dessa onda de rádio? (b) Quantos ciclos ocorrem em 1 h ? (c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a idade da Terra, estimada em 4,6 \times 10^{9} anos? (d) Quantos segundos um relógio controlado por um maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar em um intervalo igual à idade da Terra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
  • Frequência da onda de rádio do maser: f = 1{,}420405751786\times10^{9}\\ \text{Hz}.
  • Precisão do relógio controlado pelo maser: pode atrasar/adiantar 1\\ \text{s} em 100\,000 anos.
  • Idade estimada da Terra fornecida: 4{,}6\times10^{9} anos.
O enunciado pede:
(a) o intervalo de tempo de um ciclo dessa onda (período);
(b) quantos ciclos ocorrem em 1\\ \text{h};
(c) quantos ciclos ocorreram durante 4{,}6\times10^{9} anos;
(d) quantos segundos um relógio controlado por esse maser poderia atrasar/adiantar durante esse mesmo intervalo (a idade da Terra).
Observação sobre unidades que vou usar: 1\\ \text{h} = 3600\\ \text{s} e vou usar 1\\ \text{ano} = 365\\ \text{dias} = 365\cdot24\cdot3600 = 31\,536\,000\\ \text{s}. As respostas finais serão apresentadas com três algarismos significativos, conforme pedido.

Passo 2

Conceito e fórmula para o período (intervalo de tempo de um ciclo).
  • A frequência f é o número de ciclos por segundo (Hz significa “ciclos por segundo”).
  • O período T é o tempo de um ciclo, inverso da frequência. Vou definir as variáveis:
    • f = frequência (Hz),
    • T = período (s).
      A relação é
T=\frac{1}{f}.
Agora aplico com o valor dado de f. Primeiro escrevo f em notação científica (já listado no Passo 1). Calculo o inverso:
T=\frac{1}{1{,}420405751786\times10^{9}}\\ \text{s}\approx 7{,}042\times10^{-10}\\ \text{s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
T=7{,}04\times10^{-10}\\ \text{s}.
Explicação intuitiva rápida: isso significa que cada ciclo dura menos de um bilionésimo de segundo — as micro-ondas têm períodos muito pequenos porque a frequência é da ordem de 10^{9} Hz.

Passo 3

Quantos ciclos em 1\\ \text{h}.
  • Se temos f ciclos por segundo, em um intervalo de tempo t (em segundos) o número total de ciclos N é
N=f\cdot t.
Aqui t=1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}. Uso f em notação científica:
N = \bigl(1{,}420405751786\times10^{9}\bigr)\cdot 3600.
Faço a conta por partes: 3600=3{,}6\times10^{3}, então
N = 1{,}420405751786\times10^{9}\times3{,}6\times10^{3} = \bigl(1{,}420405751786\times3{,}6\bigr)\times10^{12} \approx 5{,}11346070643\times10^{12}.
Arredondando para três algarismos significativos:
N = 5{,}11\times10^{12}\\ \text{ciclos}.
Comentário: são trilhões de ciclos por hora — por isso o maser é um padrão de frequência muito estável.

Passo 4

Quantos ciclos durante a idade da Terra 4{,}6\times10^{9} anos.
Primeiro converto anos em segundos usando 1\\ \text{ano}=31\,536\,000\\ \text{s}=3{,}1536\times10^{7}\\ \text{s}:
t_{\text{Terra}} = 4{,}6\times10^{9}\\ \text{anos}\times 3{,}1536\times10^{7}\\ \frac{\text{s}}{\text{ano}} = \bigl(4{,}6\times3{,}1536\bigr)\times10^{16}\\ \text{s}.
Calculo o coeficiente:
4{,}6\times3{,}1536 = 14{,}50656,
logo
t_{\text{Terra}} = 1{,}450656\times10^{17}\\ \text{s}.
Agora o número de ciclos N_{\text{Terra}}=f\cdot t_{\text{Terra}}:
N_{\text{Terra}} = \bigl(1{,}420405751786\times10^{9}\bigr)\cdot\bigl(1{,}450656\times10^{17}\bigr) = \bigl(1{,}420405751786\times1{,}450656\bigr)\times10^{26}.
Avalio o produto aproximado do coeficiente:
1{,}420405751786\times1{,}450656 \approx 2{,}0605\ldots
Logo, em notação científica:
N_{\text{Terra}}\approx 2{,}0605\times10^{26}.
Arredondando para três algarismos significativos:
N_{\text{Terra}} = 2{,}06\times10^{26}\\ \text{ciclos}.
Interpretação: durante a idade da Terra, a oscilação do maser ocorreria uma quantidade imensa de vezes — da ordem de 10^{26}.

Passo 5

Quantos segundos o relógio poderia atrasar/adiantar em um intervalo igual à idade da Terra.
A precisão dada diz: erro de 1\\ \text{s} em 100\,000 anos. Isso é uma taxa de erro linear no tempo. Posso escrever:
\text{erro por ano} = \frac{1\\ \text{s}}{100\,000\\ \text{anos}} = 1{,}0\times10^{-5}\\ \frac{\text{s}}{\text{ano}}.
Multiplico pela duração 4{,}6\times10^{9}\\ \text{anos}:
\text{erro total} = 4{,}6\times10^{9}\\ \text{anos}\times 1{,}0\times10^{-5}\\ \frac{\text{s}}{\text{ano}} = 4{,}6\times10^{4}\\ \text{s}.
Arredondando para três algarismos significativos, expresso em notação científica:
\text{erro total} = 4{,}60\times10^{4}\\ \text{s}.
Para intuição: 4{,}60\times10^{4}\\ \text{s} é aproximadamente 12{,}8 horas (mas a pergunta pediu os segundos, então a resposta principal está acima).

Resposta

(a) 7{,}04\times10^{-10}\\ \text{s}
(b) 5{,}11\times10^{12}
(c) 2{,}06\times10^{26}
(d) 4{,}60\times10^{4}\\ \text{s}

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