A milha ainda é uma unidade de comprimento muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo que 1 mi é aproximadamente igual a 1,61 \mathrm{~km}, calcule:
o número de decímetros cúbicos existentes em uma milha cúbica.

Passo 1

O enunciado dá a equivalência entre milha e quilômetro e pede quantos decímetros cúbicos cabem em uma milha cúbica. Dados fornecidos:
  • 1\\ \mathrm{mi} \approx 1{,}61\\ \mathrm{km}.
O que se pede: o número de decímetros cúbicos (ou seja, \mathrm{dm}^3) em 1\\ \mathrm{mi}^3.

Passo 2

Ideia do método (regra geral): para converter volumes, converte-se primeiro a medida linear e depois eleva-se ao cubo. Se a equivalência linear for
1\\ \mathrm{mi} = L\\ \mathrm{dm},
então
1\\ \mathrm{mi}^3 = L^3\\ \mathrm{dm}^3.
Vou transformar 1{,}61\\ \mathrm{km} em \mathrm{dm} passo a passo e em seguida elevar ao cubo.

Passo 3

Converter 1{,}61\\ \mathrm{km} em decímetros:
  • 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{m} = 10\\ \mathrm{dm}.
Portanto
1{,}61\\ \mathrm{km} = 1{,}61\times1000\\ \mathrm{m} = 1610\\ \mathrm{m},
1610\\ \mathrm{m} = 1610\times10\\ \mathrm{dm} = 16100\\ \mathrm{dm}.
Assim, a equivalência linear é
1\\ \mathrm{mi} = 16100\\ \mathrm{dm}.

Passo 4

Agora elevar ao cubo para obter o volume:
Escrevendo 16100 em potência de dez como 1{,}61\times10^{4}, tem-se
1\\ \mathrm{mi}^3 = (1{,}61\times10^{4})^{3}\\ \mathrm{dm}^{3} = (1{,}61)^{3}\times10^{12}\\ \mathrm{dm}^{3}.
Calcular (1{,}61)^{3}:
(1{,}61)^{2}=1{,}61\times1{,}61=2{,}5921,
(1{,}61)^{3}=2{,}5921\times1{,}61=4{,}173281.
Logo
1\\ \mathrm{mi}^3 = 4{,}173281\times10^{12}\\ \mathrm{dm}^{3}.

Passo 5

Se preferir o número em forma inteira, basta expandir:
4{,}173281\times10^{12}=4\,173\,281\,000\,000,
portanto existem 4{,}173281\times10^{12} decímetros cúbicos em uma milha cúbica, isto é, 4\,173\,281\,000\,000\\ \mathrm{dm}^3.

Resposta

4{,}173281\times10^{12}\\ \mathrm{dm}^{3}

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