( ) 53. A Equação da Difusão de Calor pode ser aplicada para o caso de fluidos? Em caso afirmativo, diga em quais condições? Em caso negativo, explique o porquê.

Passo 1

O enunciado pergunta se a equação da difusão de calor
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T
pode ser aplicada a fluidos, e em caso afirmativo sob que condições; ou, em caso negativo, por que não. Para responder, vamos lembrar antes a forma geral da equação de energia em meios em movimento e depois ver quando ela se reduz ao caso puramente difusivo.

Passo 2

Em um meio fluido em movimento, a conservação de energia térmica (desprezando, por simplicidade, fontes volumétricas de calor) é
\rho c_p\Bigl(\frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T\Bigr) \;=\; k\,\nabla^2 T,
onde \rho é a massa específica, c_p o calor específico a pressão constante, k a condutividade térmica e \mathbf{v} o campo de velocidades do fluido. O termo \mathbf{v}\cdot\nabla T corresponde ao transporte convectivo de calor.

Passo 3

Se o fluido estiver estacionário ( \mathbf{v}=\mathbf{0}) ou se o transporte convectivo for negligenciável em relação ao transporte por condução, o termo advectivo some. Dividindo por \rho c_p, obtemos exatamente
\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p}\,\nabla^2 T \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\nabla^2 T,
com \alpha = k/(\rho c_p) a difusividade térmica.

Passo 4

Para quantificar “negligenciável”, introduzimos o número de Péclet
\mathrm{Pe} = \frac{U\,L}{\alpha},
onde U e L são uma velocidade e um comprimento característicos do escoamento. Quando \mathrm{Pe}\ll1, a difusão domina sobre a convecção, e a equação de difusão pura vale com boa aproximação.

Passo 5

Portanto, sim, a equação da difusão de calor pode ser aplicada a fluidos desde que não haja escoamento significativo (fluido em repouso) ou que o número de Péclet seja muito baixo ( \mathrm{Pe}\ll1), de modo a tornar desprezível o transporte convectivo.

Resposta

A equação da difusão de calor vale para fluidos quando estão estáticos (sem escoamento) ou em regime onde a convecção é extremamente fraca ( \mathrm{Pe}\ll1), pois nesses casos o termo advectivo \mathbf{v}\cdot\nabla T pode ser desprezado.

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