( ) 56. O que representa fisicamente o termo \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) na Equação da Difusão de Calor?

Passo 1

O enunciado pede para interpretar fisicamente o termo
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr)
que aparece na equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas. Vamos ver de onde ele vem e o que significa.

Passo 2

Na forma geral, a equação da difusão de calor sem geração interna é
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} \;=\;\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr)\,.
Aqui \rho é densidade, c calor específico, k condutividade térmica e \nabla\cdot(k\nabla T) é a divergência do fluxo de calor por condução.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (variando só em r) a componente radial do fluxo de calor é
q_r \;=\;-k\,\frac{\partial T}{\partial r}\,,
e a divergência desse fluxo no volume cilíndrico é
\nabla\cdot\mathbf{q} =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,q_r\bigr) =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(-k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr)\,.
No lado direito da equação de calor aparece então
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr)
(com sinal trocado para se igualar a \rho c\,\partial T/\partial t).

Passo 4

Fisicamente esse termo representa a variação espacial do fluxo de calor ao longo da direção radial. Mais precisamente, ele mede a diferença entre a quantidade de calor que entra e a que sai de uma casca cilíndrica de raio r e espessura \mathrm{d}r. Se esse valor for positivo, a casca recebe mais calor do que devolve, aumentando sua energia interna; se for negativo, sai mais calor do que entra.

Resposta

O termo
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr)
é o divergência do fluxo de calor por condução na direção radial, ou seja, a taxa líquida de calor que entra ou sai de uma casca cilíndrica de raio r.

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