… 53 Uma esfera isolante, de raio R=5,60 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição de carga não uniforme \rho= \left(14,1 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{3}\right) r / R, em que r é a distância do centro da esfera. (a) Determine a carga da esfera. (b) Determine o módulo E do campo elétrico em r=0, (c) em r=R / 2,00 e (d) em r=R. (e) Faça um gráfico de E em função de r.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante de raio R com densidade volumétrica de carga não uniforme
\rho(r)=\left(14,1\\ \mathrm{pC/m^{3}}\right)\frac{r}{R},
onde r é a distância ao centro. Os dados numéricos são:
R=5,60\\ \mathrm{cm}=0,0560\\ \mathrm{m}, \qquad \rho_0=14,1\\ \mathrm{pC/m^{3}}=14,1\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
As perguntas são:
(a) determinar a carga total da esfera;
(b) determinar o módulo do campo elétrico E em r=0;
(c) determinar E em r=R/2{,}00;
(d) determinar E em r=R;
(e) desenhar o gráfico de E em função de r.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): a carga total dentro da esfera é a integral da densidade de carga sobre o volume. Em coordenadas esféricas, um anel esférico de espessura dr tem volume dV=4\pi r^{2}\,dr. Assim a carga total é
Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,dV=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Aqui \rho(r)=\rho_0\,(r/R). Substituindo,
Q=4\pi\frac{\rho_0}{R}\int_{0}^{R}r^{3}\,dr.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R}r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
Q=4\pi\frac{\rho_0}{R}\cdot\frac{R^{4}}{4}=\pi\rho_0 R^{3}.
Agora fazemos a conta numérica. Primeiro calcule R^{3}:
R^{3}=(0{,}0560\\ \mathrm{m})^{3}=0{,}000175616\\ \mathrm{m^{3}}.
Multiplicando:
Q=\pi\cdot(14{,}1\times10^{-12})\cdot0{,}000175616 \approx 7{,}78\times10^{-15}\\ \mathrm{C}.
(Arredondei para três algarismos significativos, compatível com os dados.)

Passo 3

Agora precisamos do campo elétrico. Pelo princípio de simetria esférica e a Lei de Gauss, o campo em uma superfície esférica de raio r depende apenas da carga contida dentro de raio r. Então primeiro calculamos a carga encapsulada até um raio arbitrário r\le R:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi\frac{\rho_0}{R}\int_{0}^{r}r'^{3}\,dr' =4\pi\frac{\rho_0}{R}\cdot\frac{r^{4}}{4} =\pi\rho_0\frac{r^{4}}{R}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss (explicação didática): para uma superfície esférica de raio r com campo radial simétrico temos
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.
Substituindo Q_{\text{int}}(r) obtemos, para r\le R,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\pi\rho_0\frac{r^{4}}{R}\right).
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\varepsilon_0}\frac{\rho_0}{R}\,r^{2}.
Observação clara do que cada símbolo significa:
  • \rho_0 é o coeficiente numérico da densidade (aqui 14{,}1\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}}),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • R é o raio externo da esfera,
  • r é o ponto onde avaliamos o campo (dentro da esfera, r\le R).

Passo 5

Resposta para (b), r=0. Pelo resultado anterior, E(r) é proporcional a r^{2}. Logo em r=0
E(0)=\frac{1}{4\varepsilon_0}\frac{\rho_0}{R}\,0^{2}=0.
Interpretação física: no centro não existe campo resultante porque todas as contribuições se anulam por simetria.

Passo 6

Resposta para (c), r=R/2. Podemos usar a fórmula interna ou uma fórmula simplificada. Substituindo r=R/2 em E(r)=\dfrac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\,r^{2}
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\left(\frac{R}{2}\right)^{2} =\frac{\rho_0 R}{16\varepsilon_0}.
Agora o cálculo numérico. Use os valores:
\rho_0=14{,}1\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}},\quad R=0{,}0560\\ \mathrm{m},\quad \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calcule o numerador \rho_0 R:
\rho_0 R=14{,}1\times10^{-12}\cdot0{,}0560=7{,}896\times10^{-13}.
Agora divida por 16\varepsilon_0:
16\varepsilon_0=16\cdot8{,}854187817\times10^{-12}=1{,}416669\ldots\times10^{-10}.
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{7{,}896\times10^{-13}}{1{,}416669\times10^{-10}}\approx5{,}57\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Resposta para (d), r=R. Podemos usar a fórmula interna (limite r\to R^{-}) ou aplicar a fórmula externa com a carga total Q encontrada no Passo 2. Pela fórmula interna,
E(R)=\frac{1}{4\varepsilon_0}\frac{\rho_0}{R}\,R^{2}=\frac{\rho_0 R}{4\varepsilon_0}.
Cálculo numérico (usando os mesmos números):
\rho_0 R=7{,}896\times10^{-13}\\ \text{(como acima)}, \qquad 4\varepsilon_0=4\cdot8{,}854187817\times10^{-12}=3{,}541675\ldots\times10^{-11}.
E(R)=\frac{7{,}896\times10^{-13}}{3{,}541675\times10^{-11}}\approx2{,}23\times10^{-2}\\ \mathrm{V/m}.
Verificação alternativa (consistência): campo externo para r\ge R é igual ao de uma carga pontual Q no centro,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}.
Tomando r=R e Q=\pi\rho_0 R^{3} (resultado do Passo 2) obtemos o mesmo valor numérico mostrado acima — portanto o campo é contínuo em r=R.

Passo 8

Resposta para (e), descrição do gráfico de E(r) (instruções para desenhar e comportamento matemático):
Fórmulas úteis para traçar o gráfico:
  • Para 0\le r\le R:
E(r)=\frac{1}{4\varepsilon_0}\frac{\rho_0}{R}\,r^{2}\quad\text{(variação como }r^{2}\text{ — parábola que parte de 0).}çãá
  • Para r\ge R:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\pi\rho_0 R^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_0 R^{3}}{4\varepsilon_0}\frac{1}{r^{2}} \quad\text{(decai como }1/r^{2}\text{).}
Características do gráfico:
  • Em r=0, E=0.
  • De r=0 até r=R o campo aumenta como r^{2} (curva suave que sobe rápido conforme r cresce).
  • Em r=R o campo atinge o valor calculado E(R)\approx2{,}23\times10^{-2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Para r>R o campo decai como 1/r^{2}, portanto forma uma cauda que vai para zero conforme r\to\infty.
  • O campo é contínuo em r=R (mesmo valor vindo de dentro e de fora), mas a inclinação muda (discontinuidade na derivada).
    Sugestão prática de esboço: no eixo horizontal coloque r de 0 até, digamos, 3R. No eixo vertical marque E em escala linear; desenhe uma parábola de concavidade positiva até r=R passando por (R/2,\,5{,}57\times10^{-3}) e por (R,\,2{,}23\times10^{-2}), depois continue com uma curva que decai como 1/r^{2}.

Resposta

(a) Q=\pi\rho_0 R^{3}\approx7{,}78\times10^{-15}\\ \mathrm{C}
(b) E(0)=0
(c) E\!\left(\dfrac{R}{2}\right)\approx5{,}57\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}
(d) E(R)\approx2{,}23\times10^{-2}\\ \mathrm{V/m}
(e) Para 0\le r\le R:\;E(r)=\dfrac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\,r^{2} (parabólica, parte de zero). Para r\ge R:\;E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}} (decai como 1/r^{2}); as duas curvas se encontram continuamente em r=R.

Exercícios relacionados