… 53 Uma esfera isolante, de raio
, possui uma distribuição de carga não uniforme
, em que
é a distância do centro da esfera. (a) Determine a carga da esfera. (b) Determine o módulo
do campo elétrico em
, (c) em
e (d) em
. (e) Faça um gráfico de
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera isolante de raio
com densidade volumétrica de carga não uniforme
onde
é a distância ao centro. Os dados numéricos são:
As perguntas são:
(a) determinar a carga total da esfera;
(b) determinar o módulo do campo elétrico em
;
(c) determinar em
;
(d) determinar em
;
(e) desenhar o gráfico de em função de
.
(a) determinar a carga total da esfera;
(b) determinar o módulo do campo elétrico
(c) determinar
(d) determinar
(e) desenhar o gráfico de
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): a carga total dentro da esfera é a integral da densidade de carga sobre o volume. Em coordenadas esféricas, um anel esférico de espessura
tem volume
. Assim a carga total é
Aqui
. Substituindo,
Calcule a integral:
Portanto
Agora fazemos a conta numérica. Primeiro calcule
:
Multiplicando:
(Arredondei para três algarismos significativos, compatível com os dados.)
Passo 3
Agora precisamos do campo elétrico. Pelo princípio de simetria esférica e a Lei de Gauss, o campo em uma superfície esférica de raio
depende apenas da carga contida dentro de raio
. Então primeiro calculamos a carga encapsulada até um raio arbitrário
:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss (explicação didática): para uma superfície esférica de raio
com campo radial simétrico temos
Substituindo
obtemos, para
,
Isolando
:
Observação clara do que cada símbolo significa:
-
é o coeficiente numérico da densidade (aqui ), -
é a permissividade do vácuo , -
é o raio externo da esfera, -
é o ponto onde avaliamos o campo (dentro da esfera, ).
Passo 5
Resposta para (b),
. Pelo resultado anterior,
é proporcional a
. Logo em
Interpretação física: no centro não existe campo resultante porque todas as contribuições se anulam por simetria.
Passo 6
Resposta para (c),
. Podemos usar a fórmula interna ou uma fórmula simplificada. Substituindo
em
dá
Agora o cálculo numérico. Use os valores:
Calcule o numerador
:
Agora divida por
:
Passo 7
Resposta para (d),
. Podemos usar a fórmula interna (limite
) ou aplicar a fórmula externa com a carga total
encontrada no Passo 2. Pela fórmula interna,
Cálculo numérico (usando os mesmos números):
Verificação alternativa (consistência): campo externo para
é igual ao de uma carga pontual
no centro,
Tomando
e
(resultado do Passo 2) obtemos o mesmo valor numérico mostrado acima — portanto o campo é contínuo em
.
Passo 8
Resposta para (e), descrição do gráfico de
(instruções para desenhar e comportamento matemático):
Fórmulas úteis para traçar o gráfico:
- Para
:
- Para
:
Características do gráfico:
- Em
, . - De
até o campo aumenta como (curva suave que sobe rápido conforme cresce). - Em
o campo atinge o valor calculado . - Para
o campo decai como , portanto forma uma cauda que vai para zero conforme . - O campo é contínuo em
(mesmo valor vindo de dentro e de fora), mas a inclinação muda (discontinuidade na derivada).
Sugestão prática de esboço: no eixo horizontal coloquede até, digamos, . No eixo vertical marque em escala linear; desenhe uma parábola de concavidade positiva até passando por e por , depois continue com uma curva que decai como .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Para (parabólica, parte de zero). Para
(decai como
); as duas curvas se encontram continuamente em
.
(b)
(c)
(d)
(e) Para