53 Um relógio de pêndulo metálico adianta
por dia a uma temperatura
e atrasa
por dia, a uma temperatura
, se o coeficiente de dilatação linear de metal é
, determine a diferença de temperatura
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a diferença de temperatura
(com
):
- O relógio de pêndulo adianta
por dia quando a temperatura é . - O relógio atrasa
por dia quando a temperatura é . - O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é
.
O que precisa ser encontrado:
.
Passo 2
Entendendo como a temperatura afeta o pêndulo (aula rápida e direta):
- O período de um pêndulo simples é dado por
onde
é o comprimento do pêndulo e
a aceleração da gravidade. Aqui não precisamos do valor de
, apenas sabemos que
cresce quando
cresce.
- Quando a temperatura muda, o comprimento do fio/metálico muda linearmente:
onde
é o comprimento à temperatura de referência e
é a variação de temperatura.
- Como
, uma pequena variação relativa do comprimento produz uma variação relativa do período dada, para pequenas , por
Aqui
e
é a variação de temperatura correspondente. Em palavras: a fração de variação do período é metade da fração de variação do comprimento.
Passo 3
Relação entre variação do período e quanto o relógio adianta/atrasa por dia:
- Se o período do pêndulo for ligeiramente diferente do período nominal (o período para o qual o relógio foi calibrado), então, em um dia real de
, o relógio indicará um tempo diferente. Seja o número de segundos que o relógio ganha (positivo se adianta, negativo se atrasa) em . Para pequenas variações vale a aproximação
Explicando: se o relógio adianta
, o período efetivo é menor que o nominal, então a fração
é negativa e vale aproximadamente
. Se atrasa, o sinal inverte.
Passo 4
Aplicando isso aos dois casos e obtendo a equação para
:
- Para
: o relógio adianta , logo
- Para
: o relógio atrasa , logo
- Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos a variação relativa do período entre
e :
Como as diferenças são muito pequenas, podemos identificar
com
ao usar a relação proporcional; portanto, em boa aproximação:
- Pela relação do Passo 2 temos também
- Igualando as duas expressões:
Passo 5
Resolver para
e calcular numericamente:
- Isolando
:
- Substituindo
:
- Logo