53 Um relógio de pêndulo metálico adianta t_{1}=2 \mathrm{~s} por dia a uma temperatura T_{1} e atrasa t_{2}=4 \mathrm{~s} por dia, a uma temperatura T_{2}, se o coeficiente de dilatação linear de metal é 2,31.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, determine a diferença de temperatura T_{2} \mathrm{T}_{1} .\left(\mathrm{T}_{2}>\mathrm{T}_{1}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a diferença de temperatura \,T_{2}-T_{1}\, (com T_{2}>T_{1}):
  • O relógio de pêndulo adianta \,t_{1}=2\\ \mathrm{s}\, por dia quando a temperatura é \,T_{1}\,.
  • O relógio atrasa \,t_{2}=4\\ \mathrm{s}\, por dia quando a temperatura é \,T_{2}\,.
  • O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é \,\alpha=2{,}31\cdot 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que precisa ser encontrado: \,T_{2}-T_{1}\,.

Passo 2

Entendendo como a temperatura afeta o pêndulo (aula rápida e direta):
  • O período de um pêndulo simples é dado por
T_p = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},
onde \,l\, é o comprimento do pêndulo e \,g\, a aceleração da gravidade. Aqui não precisamos do valor de \,g\,, apenas sabemos que T_p cresce quando l cresce.
  • Quando a temperatura muda, o comprimento do fio/metálico muda linearmente:
l(T)=l_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde \,l_0\, é o comprimento à temperatura de referência e \,\Delta T\, é a variação de temperatura.
  • Como T_p\propto\sqrt{l}, uma pequena variação relativa do comprimento produz uma variação relativa do período dada, para pequenas \alpha\Delta T, por
\frac{\Delta T_p}{T_p} \approx \frac{1}{2}\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2}\alpha\,\Delta T.
Aqui \,\Delta T_p = T_p(T)-T_p(\text{ref})\, e \,\Delta T\, é a variação de temperatura correspondente. Em palavras: a fração de variação do período é metade da fração de variação do comprimento.

Passo 3

Relação entre variação do período e quanto o relógio adianta/atrasa por dia:
  • Se o período do pêndulo for ligeiramente diferente do período nominal (o período para o qual o relógio foi calibrado), então, em um dia real de 86400\\ \mathrm{s}, o relógio indicará um tempo diferente. Seja t o número de segundos que o relógio ganha (positivo se adianta, negativo se atrasa) em 86400\\ \mathrm{s}. Para pequenas variações vale a aproximação
\frac{T_p - T_{\text{nom}}}{T_{\text{nom}}} \approx -\frac{t}{86400}.
Explicando: se o relógio adianta t>0, o período efetivo é menor que o nominal, então a fração (T_p-T_{\text{nom}})/T_{\text{nom}} é negativa e vale aproximadamente -t/86400. Se atrasa, o sinal inverte.

Passo 4

Aplicando isso aos dois casos e obtendo a equação para \,T_{2}-T_{1}\,:
  • Para \,T_{1}\,: o relógio adianta \,t_{1}=2\\ \mathrm{s}, logo
\frac{T_p(T_{1})-T_{\text{nom}}}{T_{\text{nom}}} \approx -\frac{2}{86400}.
  • Para \,T_{2}\,: o relógio atrasa \,t_{2}=4\\ \mathrm{s}, logo
\frac{T_p(T_{2})-T_{\text{nom}}}{T_{\text{nom}}} \approx +\frac{4}{86400}.
  • Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos a variação relativa do período entre \,T_{2}\, e \,T_{1}\,:
\frac{T_p(T_{2})-T_p(T_{1})}{T_{\text{nom}}} \approx \frac{4}{86400} - \left(-\frac{2}{86400}\right) = \frac{6}{86400}.
Como as diferenças são muito pequenas, podemos identificar T_{\text{nom}} com T_p(T_{1}) ao usar a relação proporcional; portanto, em boa aproximação:
\frac{T_p(T_{2})-T_p(T_{1})}{T_p(T_{1})} \approx \frac{6}{86400}.
  • Pela relação do Passo 2 temos também
\frac{T_p(T_{2})-T_p(T_{1})}{T_p(T_{1})} \approx \frac{1}{2}\alpha\,(T_{2}-T_{1}).
  • Igualando as duas expressões:
\frac{1}{2}\alpha\,(T_{2}-T_{1}) = \frac{6}{86400}.

Passo 5

Resolver para \,T_{2}-T_{1}\, e calcular numericamente:
  • Isolando \,T_{2}-T_{1}\,:
T_{2}-T_{1} = \frac{2\cdot 6}{\alpha\cdot 86400} = \frac{12}{\alpha\cdot 86400}.
  • Substituindo \,\alpha=2{,}31\cdot 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
\alpha\cdot 86400 = 2{,}31\cdot 10^{-5}\times 86400 = 1{,}99584.
  • Logo
T_{2}-T_{1} = \frac{12}{1{,}99584}\approx 6{,}01\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\Delta T = T_{2}-T_{1} = 6{,}01^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados