51 Um relógio de pêndulo de metal adianta
por dia a uma temperatura
e atrasa
por dia a uma temperatura
. Com esses dados, calcule o coeficiente de expansão linear do metal do pêndulo.
Passo 1
O enunciado dá duas medições do mesmo relógio de pêndulo em temperaturas diferentes e pede o coeficiente de expansão linear do metal do pêndulo. Dados e perguntas claramente listados:
-
Dados:
- O relógio adianta
por dia à temperatura . - O relógio atrasa
por dia à temperatura . - Um dia tem
.
- O relógio adianta
-
O que pedir: calcular o coeficiente de expansão linear do material do pêndulo,
(unidade ).
Passo 2
Entendendo como a temperatura afeta o pêndulo (a parte “teórica” mastigada):
- A fórmula do período de um pêndulo simples é
onde:
-
é o período (tempo de uma oscilação), -
é o comprimento efetivo do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (constante para nosso problema). -
Se o comprimento
muda um pouco para , para pequenas variações podemos linearizar a raiz. A variação relativa do período satisfaz, para pequenas :
Explicando: como
, uma pequena mudança relativa em
produz metade dessa mudança relativa em
.
Passo 3
Como o comprimento muda com temperatura (coeficiente de expansão linear):
- A expansão linear do material é dada por
logo para uma variação de temperatura
a variação relativa do comprimento é
- Combinando com o passo anterior:
Aqui
é a variação fracionária do período quando a temperatura muda em
.
Passo 4
Ligando a variação do período ao erro por dia do relógio (como converter segundos por dia em variação fracional de período):
- Considere um dia verdadeiro de duração
. Se o período do pêndulo tiver a razão em relação ao período correto , então o tempo marcado pelo relógio ao fim de um dia verdadeiro será aproximadamente
porque um aumento no período faz o relógio andar mais devagar (perde tempo) e uma diminuição faz o relógio adiantar.
- Portanto a diferença (erro) em segundos por dia,
, está ligada pela aproximação (para pequenas variações)
Explicando o sinal: se o relógio adianta (
), então
(período menor); se atrasa (
),
.
Passo 5
Aplicando aos dois pontos medidos e eliminando o período de referência:
- Para
o relógio adianta , então
- Para
o relógio atrasa (ou seja, se quisermos sinal consistente), então
- Subtraindo as duas equações (assim eliminamos
de referência e erros de calibração desconhecidos):
- Pelo passo 3, cada
. Assim a diferença é
Mas note o sinal: já que usamos diferenças de
com o mesmo
de referência, o resultado direto útil para
é
(Escolhi essa forma para obter
positivo quando
.)
Passo 6
Agora substituímos os números e resolvemos para
:
- Primeiro calcule
:
- A diferença de temperatura:
- A equação para
é
Isolando
:
- Substituindo valores:
Passo 7
Fazendo a aritmética passo a passo (sem calculadora complicada):
- Calcule o denominador:
. - Assim
- Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
- Agora a fração em decimal:
Usando notação conveniente e arredondando razoavelmente,
Passo 8
Interpretação rápida e encorajamento: o valor encontrado
é da ordem típica de coeficientes de metais comuns (alguns metais têm
a
). Você fez bem em seguir passo a passo — essa é a estratégia que cai na prova: relacionar erro em segundos por dia com variação fracional do período e com a expansão térmica.