51 Um relógio de pêndulo de metal adianta t_{1}=3 \mathrm{~s} por dia a uma temperatura T_{1}=5^{\circ} \mathrm{C} e atrasa t_{2}=30 \mathrm{~s} por dia a uma temperatura \mathrm{T}_{2}=30^{\circ} \mathrm{C}. Com esses dados, calcule o coeficiente de expansão linear do metal do pêndulo.

Passo 1

O enunciado dá duas medições do mesmo relógio de pêndulo em temperaturas diferentes e pede o coeficiente de expansão linear do metal do pêndulo. Dados e perguntas claramente listados:
  • Dados:
    • O relógio adianta t_{1}=3\\ \mathrm{s} por dia à temperatura T_{1}=5^\circ\mathrm{C}.
    • O relógio atrasa t_{2}=30\\ \mathrm{s} por dia à temperatura T_{2}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Um dia tem 86400\\ \mathrm{s}.
  • O que pedir: calcular o coeficiente de expansão linear do material do pêndulo, \alpha (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}).

Passo 2

Entendendo como a temperatura afeta o pêndulo (a parte “teórica” mastigada):
  • A fórmula do período de um pêndulo simples é
T_p = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
  • T_p é o período (tempo de uma oscilação),
  • L é o comprimento efetivo do pêndulo,
  • g é a aceleração da gravidade (constante para nosso problema).
  • Se o comprimento L muda um pouco para L+\Delta L, para pequenas variações podemos linearizar a raiz. A variação relativa do período satisfaz, para pequenas \Delta L:
\frac{\Delta T_p}{T_p}\approx\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}.
Explicando: como T_p\propto\sqrt{L}, uma pequena mudança relativa em L produz metade dessa mudança relativa em T_p.

Passo 3

Como o comprimento muda com temperatura (coeficiente de expansão linear):
  • A expansão linear do material é dada por
L(T)=L_0\bigl(1+\alpha\,(T-T_0)\bigr),
logo para uma variação de temperatura \Delta T_{\text{temp}} a variação relativa do comprimento é
\frac{\Delta L}{L}=\alpha\,\Delta T_{\text{temp}}.
  • Combinando com o passo anterior:
\frac{\Delta T_p}{T_p}\approx\frac{1}{2}\alpha\,\Delta T_{\text{temp}}.
Aqui \Delta T_p/T_p é a variação fracionária do período quando a temperatura muda em \Delta T_{\text{temp}}.

Passo 4

Ligando a variação do período ao erro por dia do relógio (como converter segundos por dia em variação fracional de período):
  • Considere um dia verdadeiro de duração 86400\\ \mathrm{s}. Se o período do pêndulo tiver a razão \frac{\Delta T_p}{T_p} em relação ao período correto T_{p0}, então o tempo marcado pelo relógio ao fim de um dia verdadeiro será aproximadamente
\text{tempo marcado}\approx 86400\left(1-\frac{\Delta T_p}{T_p}\right),
porque um aumento no período faz o relógio andar mais devagar (perde tempo) e uma diminuição faz o relógio adiantar.
  • Portanto a diferença (erro) em segundos por dia, t, está ligada pela aproximação (para pequenas variações)
\frac{t}{86400}\approx -\frac{\Delta T_p}{T_p}.
Explicando o sinal: se o relógio adianta ( t>0), então \Delta T_p<0 (período menor); se atrasa ( t<0), \Delta T_p>0.

Passo 5

Aplicando aos dois pontos medidos e eliminando o período de referência:
  • Para T_1=5^\circ\mathrm{C} o relógio adianta t_1=3\\ \mathrm{s}, então
\frac{t_1}{86400}\approx -\frac{\Delta T_p(T_1)}{T_p}.
  • Para T_2=30^\circ\mathrm{C} o relógio atrasa t_2=30\\ \mathrm{s} (ou seja, t_2=-30\\ \mathrm{s} se quisermos sinal consistente), então
\frac{t_2}{86400}\approx -\frac{\Delta T_p(T_2)}{T_p}.
  • Subtraindo as duas equações (assim eliminamos T_p de referência e erros de calibração desconhecidos):
\frac{t_2-t_1}{86400}\approx -\frac{\Delta T_p(T_2)-\Delta T_p(T_1)}{T_p}.
  • Pelo passo 3, cada \frac{\Delta T_p}{T_p}\approx\frac{1}{2}\alpha\,(T_{\text{med}}-T_{\text{ref}}). Assim a diferença é
\frac{t_2-t_1}{86400}\approx -\left(\frac{1}{2}\alpha(T_2-T_{\text{ref}})-\frac{1}{2}\alpha(T_1-T_{\text{ref}})\right) =\,-\frac{1}{2}\alpha\,(T_2-T_1).
Mas note o sinal: já que usamos diferenças de \Delta T_p com o mesmo T_p de referência, o resultado direto útil para \alpha é
\frac{t_1 - t_2}{86400}\approx \frac{1}{2}\alpha\,(T_2-T_1).
(Escolhi essa forma para obter \alpha positivo quando T_2>T_1.)

Passo 6

Agora substituímos os números e resolvemos para \alpha:
  • Primeiro calcule t_1-t_2:
t_1-t_2 = 3 - (-30) = 33\\ \mathrm{s}.
  • A diferença de temperatura:
T_2-T_1 = 30^\circ\mathrm{C}-5^\circ\mathrm{C}=25^\circ\mathrm{C}.
  • A equação para \alpha é
\frac{t_1-t_2}{86400}=\frac{1}{2}\alpha\,(T_2-T_1).
Isolando \alpha:
\alpha=\frac{2\,(t_1-t_2)}{86400\,(T_2-T_1)}.
  • Substituindo valores:
\alpha=\frac{2\cdot 33}{86400\cdot 25}.

Passo 7

Fazendo a aritmética passo a passo (sem calculadora complicada):
  • Calcule o denominador: 86400\cdot 25 = 2\,160\,000.
  • Assim
\alpha=\frac{66}{2\,160\,000}.
  • Simplificando dividindo numerador e denominador por 6:
\alpha=\frac{11}{360\,000}.
  • Agora a fração em decimal:
\frac{11}{360\,000}=0,000030555\ldots
Usando notação conveniente e arredondando razoavelmente,
\alpha\approx 3{,}06\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento: o valor encontrado \alpha\approx 3{,}06\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} é da ordem típica de coeficientes de metais comuns (alguns metais têm \sim 10^{-5} a 10^{-6}). Você fez bem em seguir passo a passo — essa é a estratégia que cai na prova: relacionar erro em segundos por dia com variação fracional do período e com a expansão térmica.

Resposta

\alpha\approx 3{,}06\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

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