58 Uma haste de metal tem um comprimento
e uma secção
a
. Variando a temperatura, sua seção é aumentada em
. Calcule a variação percentual que o seu comprimento experimenta no final do processo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Informações:
- A haste tem comprimento inicial
(em ). - A secção (área da secção transversal) inicial é
. - Após variar a temperatura, a secção aumenta em
. Ou seja, a secção final é .
O que se pede: - Calcular a variação percentual do comprimento da haste ao final do processo (ou seja, quanto o comprimento cresceu em porcentagem em relação a
).
Passo 2
Modelo físico e hipótese (essencial para resolver): vou assumir que a haste se expande de forma isotrópica nas direções perpendiculares à secção e ao longo do comprimento — isto é, todas as dimensões lineares aumentam pelo mesmo fator de escala. Seja
o fator de escala linear tal que o comprimento final seja
. Quero relacionar esse
com a razão entre as áreas final e inicial.
Passo 3
Relação entre área e escala linear (a ideia chave): uma área é proporcional ao quadrado de uma dimensão linear. Exemplo simples: um quadrado de lado
tem área
. Se o lado for multiplicado por
, a nova área é
. Portanto, para a secção da haste vale a mesma relação: a secção final
está ligada à inicial por
Dessa equação segue imediatamente
Passo 4
Aplicando o dado numérico da área: como a secção aumentou
,
Logo
Isso significa que o comprimento final é
.
Passo 5
Agora a variação relativa do comprimento (fração) é
Para transformar em porcentagem multiplico por
:
Para avaliar numericamente, uso uma aproximação para
quando
é pequeno:
. Com
temos
e
, então
Portanto a variação percentual é aproximadamente
Observação prática e rápida: para pequenas dilatações a área cresce aproximadamente o dobro da dilatação linear, então a estimativa rápida
já dá uma boa intuição — a resposta exata é ligeiramente menor (
) por causa do termo quadrático.