58 Uma haste de metal tem um comprimento \mathrm{L}_{0} e uma secção \mathrm{S}_{0} a 0^{\circ} \mathrm{C}. Variando a temperatura, sua seção é aumentada em 6 \%. Calcule a variação percentual que o seu comprimento experimenta no final do processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Informações:
  • A haste tem comprimento inicial \mathrm{L}_{0} (em 0^\circ\mathrm{C}).
  • A secção (área da secção transversal) inicial é \mathrm{S}_{0}.
  • Após variar a temperatura, a secção aumenta em 6\%. Ou seja, a secção final é \mathrm{S} = \mathrm{S}_{0}(1+0,06)=1,06\,\mathrm{S}_{0}.
    O que se pede:
  • Calcular a variação percentual do comprimento da haste ao final do processo (ou seja, quanto o comprimento cresceu em porcentagem em relação a \mathrm{L}_{0}).

Passo 2

Modelo físico e hipótese (essencial para resolver): vou assumir que a haste se expande de forma isotrópica nas direções perpendiculares à secção e ao longo do comprimento — isto é, todas as dimensões lineares aumentam pelo mesmo fator de escala. Seja \\ k o fator de escala linear tal que o comprimento final seja \mathrm{L}=k\,\mathrm{L}_{0}. Quero relacionar esse k com a razão entre as áreas final e inicial.

Passo 3

Relação entre área e escala linear (a ideia chave): uma área é proporcional ao quadrado de uma dimensão linear. Exemplo simples: um quadrado de lado s tem área s^{2}. Se o lado for multiplicado por k, a nova área é (k s)^{2}=k^{2}s^{2}. Portanto, para a secção da haste vale a mesma relação: a secção final \mathrm{S} está ligada à inicial por
\mathrm{S} = k^{2}\,\mathrm{S}_{0}.
Dessa equação segue imediatamente
k=\sqrt{\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{S}_{0}}}.

Passo 4

Aplicando o dado numérico da área: como a secção aumentou 6\%,
\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{S}_{0}}=1,06.
Logo
k=\sqrt{1,06}.
Isso significa que o comprimento final é \mathrm{L}= \sqrt{1,06}\,\mathrm{L}_{0}.

Passo 5

Agora a variação relativa do comprimento (fração) é
\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}_{0}}=\frac{\mathrm{L}-\mathrm{L}_{0}}{\mathrm{L}_{0}}=k-1=\sqrt{1,06}-1.
Para transformar em porcentagem multiplico por 100\%:
\text{variação percentual}=(\sqrt{1,06}-1)\times100\%.çã
Para avaliar numericamente, uso uma aproximação para \sqrt{1+x} quando x é pequeno: \sqrt{1+x}\approx 1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^{2}}{8}+\cdots. Com x=0,06 temos \tfrac{x}{2}=0,03 e \tfrac{x^{2}}{8}=0,00045, então
\sqrt{1,06}\approx 1+0,03-0,00045=1,02955.
Portanto a variação percentual é aproximadamente
(1,02955-1)\times100\%\approx 2,955\%\approx 2,96\%.
Observação prática e rápida: para pequenas dilatações a área cresce aproximadamente o dobro da dilatação linear, então a estimativa rápida 6\%/2=3\% já dá uma boa intuição — a resposta exata é ligeiramente menor ( \approx2,96\%) por causa do termo quadrático.

Resposta

(\sqrt{1,06}-1)\times100\%\approx 2,96\%

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