53-Um resistor de \mathrm{R}=27,5 ohms e um capacitor de \mathrm{C}=66,7 \mu F estão em série. A tensão no capacitor é \mathrm{v}_{\mathrm{C}}=50 \cos 1500 \mathrm{t}. Calcular \mathrm{v}_{\mathrm{T}}, o ângulo de avanço da corrente em relação à tensão e o módulo da impedância.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    R=27,5\\ \Omega.
    C=66,7\\ \mu\mathrm{F}=66,7\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    A tensão no capacitor é \displaystyle v_C(t)=50\cos(1500\,t) (portanto a frequência angular é \omega=1500\\ \mathrm{rad/s} e a fasor de \,v_C é \,V_C=50\angle 0^\circ).
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular \,v_T (a tensão total no conjunto série R\!-\!C; entregarei em forma temporal, tipo coseno).
    2. Calcular o ângulo de avanço da corrente em relação à tensão total (ou seja, quanto a corrente adianta a tensão total, em graus).
    3. Calcular o módulo da impedância total |Z| do circuito série.

Passo 2

Passo didático: modelo em fasores e impedância do capacitor.
  • Em regime senoidal permanente usamos fasores. A impedância do capacitor é
Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\,\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}.
Aqui \omega=1500. Calculemos \omega C e a reatância capacitiva X_C=\dfrac{1}{\omega C}:
\omega C = 1500\cdot 66,7\times10^{-6}=0,10005,
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0,10005}\approx 9,995\\ \Omega.
Logo
Z_C=-\mathrm{j}9,995\\ \Omega.
Explicação curta: o fator -\mathrm{j} indica que a tensão no capacitor está defasada em -90^\circ em relação à corrente que o atravessa (ou, equivalentemente, a corrente adianta a tensão do capacitor em 90^\circ).

Passo 3

Calcular a corrente (fasor) a partir de \,V_C.
  • Sabemos \,V_C=50\angle 0^\circ (já que \cos com fase zero). A corrente fasorial é
I=\frac{V_C}{Z_C}=\frac{50\angle 0^\circ}{9,995\angle -90^\circ}.
Dividindo magnitudes e subtraindo ângulos obtemos:
|I|=\frac{50}{9,995}\approx 5,0005\\ \mathrm{A},
\angle I = 0^\circ - (-90^\circ)=+90^\circ.
Portanto o fasor corrente é aproximadamente
I\approx 5,0005\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a corrente adianta a tensão do capacitor em 90^\circ (isso é característica do capacitor).

Passo 4

Calcular a tensão total \,V_T por soma fasorial: \,V_T=V_R+V_C, com V_R=I\cdot R.
  • Primeiro V_R=I\cdot R. Como I\approx 5,0005\angle 90^\circ e R=27,5,
|V_R|=5,0005\cdot 27,5\approx 137,514\\ \mathrm{V}, \quad \angle V_R=90^\circ,
ou seja V_R em forma retangular é V_R=0 + \mathrm{j}\,137,514.
  • V_C em retangular é V_C=50 + \mathrm{j}\,0.
  • Soma fasorial:
V_T=V_R+V_C=(50)+\mathrm{j}(137,514)=50+\mathrm{j}\,137,514.
  • Magnitude e ângulo de V_T:
|V_T|=\sqrt{50^2+137,514^2}\approx 146,3\\ \mathrm{V},
\angle V_T=\arctan\!\left(\frac{137,514}{50}\right)\approx 70,0^\circ.
  • Voltagem no domínio do tempo (referência de fase mantida como no enunciado):
v_T(t)\approx 146,3\cos\bigl(1500\,t+70,0^\circ\bigr).
Comentário: observe que I tem ângulo +90^\circ e V_T tem +70,0^\circ, portanto a corrente adianta a tensão total em cerca de 20^\circ (veremos isso de forma explícita no próximo passo).

Passo 5

Calcular a impedância total Z e o ângulo entre corrente e tensão total (checar consistência).
  • Impedância do circuito série:
Z=R+Z_C=R-\mathrm{j}X_C=27,5-\mathrm{j}9,995\\ \Omega.
  • Módulo de Z:
|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{27,5^2+9,995^2} =\sqrt{756,25+99,900}\approx 29,26\\ \Omega.
  • Ângulo de Z (ângulo da tensão em relação à corrente) é
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{-X_C}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{9,995}{27,5}\right)\approx -19,98^\circ.
Significado: a tensão total está atrasada em 19,98^\circ em relação à corrente; isso equivale a dizer que a corrente adianta a tensão total em 19,98^\circ.
  • Conferência numérica: |V_T|=|I|\cdot|Z|\approx 5,0005\cdot 29,26\approx 146,3\\ \mathrm{V}, consistente com o resultado do passo anterior.

Passo 6

Resumo físico e dica de prova (curta e prática):
  • Se você te der v_C(t) e pedir v_T(t) em série R\!-\!C, caminho prático: transformar v_C em fasor V_C, calcular I=V_C/Z_C, depois V_R=I R e somar V_T=V_R+V_C.
  • Para o ângulo de avanço da corrente em relação à tensão total, você pode usar \angle Z: se \angle Z<0 então a corrente adianta a tensão em |\angle Z|.
  • Não esqueça de manter unidades consistentes e de que dividir por -\mathrm{j} é o mesmo que multiplicar por \mathrm{j} (ganho de +90^\circ na fase).

Resposta

v_T(t)=146,3\cos\bigl(1500\,t+70,0^\circ\bigr)
A corrente adianta a tensão total em 19,98^\circ (aproximadamente 20,0^\circ).
|Z|=29,26\\ \Omega

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