53 Resolva o sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{x-m}{m-n}+\frac{y-m}{m+n}=2 \\\ \frac{x+n}{m}-\frac{y-2 m}{n}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações em x e y, onde os coeficientes envolvem os parâmetros m e n. O conteúdo é Álgebra Linear elementar (resolução de sistema 2\times 2) e vamos precisar eliminar denominadores, obter um sistema linear em x e y, e então usar eliminação ou determinantes para encontrar as soluções.

Passo 2

Começamos multiplicando cada equação pelos denominadores para eliminar frações. A primeira equação é
\frac{x-m}{m-n}+\frac{y-m}{m+n}=2.
Multiplicando por (m-n)(m+n)=m^2-n^2, obtemos
(x-m)(m+n)+(y-m)(m-n)=2\,(m^2-n^2).
Fazendo as expansões e simplificando, chega-se a
x\,(m+n)+y\,(m-n)=4m^2-2n^2.
Denotamos esta igualdade por \mathrm{(A)}.

Passo 3

A segunda equação é
\frac{x+n}{m}-\frac{y-2m}{n}=1.
Multiplicando por m\,n, vem
n\,(x+n)-m\,(y-2m)=m\,n,
que, após rearranjar, vira
n\,x - m\,y = -2m^2 + m\,n - n^2.
Denotamos esta igualdade por \mathrm{(B)}.

Passo 4

Agora temos o sistema linear
\begin{cases} x\,(m+n) + y\,(m-n) = 4m^2-2n^2, \quad(\mathrm{A})\\\ n\,x \;-\; m\,y = -2m^2 + m\,n - n^2. \quad(\mathrm{B}) \end{cases}
Para encontrar y, isolamos x em \mathrm{(B)}:
x = \frac{m\,y -2m^2 + m\,n - n^2}{n},
e substituímos em \mathrm{(A)}. Após expandir, rearranjar e agrupar, obtemos
y\,(m^2+2m\,n - n^2) = 2m^3 + 5m^2n - n^3.
Logo,
y = \frac{2m^3 + 5m^2n - n^3}{m^2 + 2m\,n - n^2}.

Passo 5

Para achar x, usamos novamente
x = \frac{m\,y -2m^2 + m\,n - n^2}{n}
substituindo o valor de y. O cálculo leva a
x = \frac{2m^3 + 3m^2n -4m\,n^2 + n^3}{m^2 + 2m\,n - n^2}.

Resposta

x = \displaystyle\frac{2m^3 + 3m^2n -4m\,n^2 + n^3}{m^2 + 2m\,n - n^2} y = \displaystyle\frac{2m^3 + 5m^2n - n^3}{m^2 + 2m\,n - n^2}

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