1.54
Considere uma lente de vidro ( n=1,5 ) plano-convexa. O raio de curvatura da lente igual a \mathbf{1 0 0 c m}. (a) Verifique se a lente é convergente ou divergente. (b) Qual é o grau desta lente em dioptrias?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • índice de refração da lente: n=1,5.
    • tipo geométrico da lente: plano-convexa (uma face plana e outra convexa).
    • raio de curvatura da superfície curva: R=100\\ \text{cm}.
  • Perguntas:
    • (a) A lente é convergente ou divergente?
    • (b) Qual é a potência da lente em dioptrias?

Passo 2

Intuição física (explicação didática e sem fórmulas complicadas).
  • Uma superfície convexa de vidro em ar tende a fazer com que raios paralelos que incidem fiquem mais próximos ao atravessarem a superfície: isso dá efeito de “focar” a luz. Quando o índice do material é maior que o do meio (aqui n_{\text{vidro}}=1,5 e n_{\text{ar}}\approx1), uma superfície convexa costuma convergir os raios.
  • Uma lente plano-convexa tem uma face plana e outra convexa: essa geometria, com material mais refringente que o ar, age como uma lente convergente (foca luz) — salvo convenções exóticas de montagem, mas para o caso usual em ar isso é convergente.
  • Em linguagem curta: vidro com n>1 + forma convexa → lente convergente.

Passo 3

Fórmula prática que usamos (aulas rápidas sobre a fórmula).
  • Para lentes delgadas em ar, a fórmula simplificada (fórmula do fabricante / fórmula do fabricante de lentes) que relaciona o comprimento focal f com os raios de curvatura das superfícies é:
\frac{1}{f} = (n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),
onde:
  • \,f é o comprimento focal da lente (positivo para lentes convergentes),
  • \,n é o índice de refração do material da lente em relação ao meio externo (aqui n=1,5),
  • \,R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície encontrada pela luz (positivos/negativos seguem convenção; aqui só precisamos do valor absoluto e do fato de uma superfície ser plana),
  • \,R_2 é o raio de curvatura da segunda superfície,
  • para uma superfície plana temos R=\infty e portanto 1/R=0.
  • No caso de uma lente plano-convexa uma das superfícies é plana, logo seu termo 1/R é zero. Como estamos interessados no valor numérico do foco e no sinal (convergente/divergente) para o caso usual em ar, a fórmula reduz-se a:
\frac{1}{f} = (n-1)\frac{1}{R},
onde R é o raio da face curva (usando a convenção que dá f>0 para o caso convexo relevante). Esta versão é válida para lente delgada (espessura desprezível) e ar como meio externo.

Passo 4

Aplicando a fórmula e fazendo contas passo a passo (unidades).
  • Primeiro, converter o raio para metros (porque dioptria usa metros):
    • R = 100\\ \text{cm} = 1\\ \text{m}.
  • Calcular n-1:
    • n-1 = 1,5 - 1 = 0,5.
  • Usando \dfrac{1}{f}=(n-1)\dfrac{1}{R}:
\frac{1}{f} = 0,5\cdot\frac{1}{1\\ \text{m}} = 0,5\\ \text{m}^{-1}.
  • Portanto o comprimento focal em metros é
f = \frac{1}{0,5\\ \text{m}^{-1}} = 2\\ \text{m}.

Passo 5

Definição de dioptria e cálculo da potência.
  • A potência de uma lente em dioptrias, D, é definida por
D = \frac{1}{f},
onde f deve estar em metros e D tem unidade \text{m}^{-1} (chamada dioptria).
  • Já calculamos \dfrac{1}{f}=0,5\\ \text{m}^{-1}, então
D = 0,5\\ \text{dioptrias}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida (sem repetir a resposta final textualmente).
  • O sinal positivo de 1/f indica que a lente tem foco real e, portanto, é convergente nas condições usuais (lente em ar, face curva voltada para o espaço).
  • Um exemplo numérico extra para fixar a ideia: se o raio fosse R=0{,}5\\ \text{m} (50 cm) e n igual, então \dfrac{1}{f}=(1,5-1)/0{,}5=1{,}0\\ \text{m}^{-1}, ou seja, potência 1{,}0 dioptria e f=1\\ \text{m}. Isso ajuda a ver que diminuir R aumenta a potência.

Resposta

a) convergente
b) 0,5\\ \text{dioptrias}

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