1.56

Determine o ponto do eixo de uma lente delgada onde devemos colocar um objeto para que a imagem se forme num ponto tal que i=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar em que ponto do eixo de uma lente delgada devemos colocar um objeto para que a imagem se forme num ponto tal que i=0.
Informações relevantes dadas:
  • A lente é delgada (podemos usar a equação da lente delgada).
  • Queremos a imagem com distância i=0 medida a partir do centro da lente (ou seja, a imagem no plano da lente).
  • Não há outros dados numéricos (a resposta deve ser em termos gerais).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica que relaciona distância do objeto, distância da imagem e distância focal para uma lente delgada:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{i},
onde:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente, negativa para divergente),
  • p é a distância do objeto ao centro da lente (também chamada s ou s_o),
  • i é a distância da imagem ao centro da lente (também chamada s' ou s_i).
Explicando a fórmula de forma didática: a fórmula vem de combinar a geometria dos raios (principalmente com dois raios notáveis) e expressa que a vergência da lente ( 1/f) é a soma da vergência do feixe vindo do objeto ( 1/p) com a vergência que sai formando a imagem ( 1/i). Cada termo tem unidade de 1/comprimento.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado, que é i=0. Substituindo na fórmula da lente:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{0}.
O termo \dfrac{1}{0} é indefinido (tende para infinito), portanto a igualdade não pode ser satisfeita por nenhum valor finito de p. Isto significa que não existe nenhum p finito que torne \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{0} igual a \dfrac{1}{f} com \dfrac{1}{0} bem definido.

Passo 4

Para entender melhor, vamos manipular a fórmula isolando i:
\frac{1}{i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Assim,
i=\frac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{p}}=\frac{fp}{p-f}.
Esta expressão mostra o seguinte comportamento:
  • Se p\to\infty (objeto muito distante), então i\to f (imagem no plano focal).
  • Se p\to f (objeto no plano focal), então i\to\infty (imagem no infinito).
  • Se p\to 0 (objeto se aproximando do plano da lente), então o denominador p-f\to -f (assumindo f fixo) e a expressão tende a i\to 0 (com sinal que indica posição do lado do objeto). Mas observe: p=0 é matematicamente singular e fisicamente corresponde a colocar o objeto exatamente no plano da lente, o que não é uma situação tratável pelo modelo de lente delgada.

Passo 5

Interpretação física e conclusão prática:
  • A equação mostra que não existe uma posição finita p que dê exatamente i=0 dentro do modelo padrão da lente delgada, porque isso exigiria \dfrac{1}{i} infinito.
  • O único modo de a expressão i tender para 0 é no limite p\to 0, ou seja, se o objeto for colocado cada vez mais próximo do plano da lente a imagem tende a se aproximar do plano da lente. Mas colocar o objeto exatamente em p=0 (sobre a própria lente) é fora do regime físico onde a lente delgada e a fórmula acima fazem sentido (não se pode ter um objeto “dentro” da lente idealizada).
  • Portanto, não existe posição finita válida do objeto, segundo o modelo, que produza uma imagem com i=0.

Resposta

Não existe posição finita do objeto que produza i=0; apenas no limite p\to 0 a imagem tende a i=0, mas esse caso não é físico dentro do modelo de lente delgada.

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