1.56
Determine o ponto do eixo de uma lente delgada onde devemos colocar um objeto para que a imagem se forme num ponto tal que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar em que ponto do eixo de uma lente delgada devemos colocar um objeto para que a imagem se forme num ponto tal que
.
Informações relevantes dadas:
- A lente é delgada (podemos usar a equação da lente delgada).
- Queremos a imagem com distância
medida a partir do centro da lente (ou seja, a imagem no plano da lente). - Não há outros dados numéricos (a resposta deve ser em termos gerais).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica que relaciona distância do objeto, distância da imagem e distância focal para uma lente delgada:
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente, negativa para divergente), -
é a distância do objeto ao centro da lente (também chamada ou ), -
é a distância da imagem ao centro da lente (também chamada ou ).
Explicando a fórmula de forma didática: a fórmula vem de combinar a geometria dos raios (principalmente com dois raios notáveis) e expressa que a vergência da lente (
) é a soma da vergência do feixe vindo do objeto (
) com a vergência que sai formando a imagem (
). Cada termo tem unidade de
comprimento.
Passo 3
Agora aplicamos a condição do enunciado, que é
. Substituindo na fórmula da lente:
O termo
é indefinido (tende para infinito), portanto a igualdade não pode ser satisfeita por nenhum valor finito de
. Isto significa que não existe nenhum
finito que torne
igual a
com
bem definido.
Passo 4
Para entender melhor, vamos manipular a fórmula isolando
:
Assim,
Esta expressão mostra o seguinte comportamento:
- Se
(objeto muito distante), então (imagem no plano focal). - Se
(objeto no plano focal), então (imagem no infinito). - Se
(objeto se aproximando do plano da lente), então o denominador (assumindo fixo) e a expressão tende a (com sinal que indica posição do lado do objeto). Mas observe: é matematicamente singular e fisicamente corresponde a colocar o objeto exatamente no plano da lente, o que não é uma situação tratável pelo modelo de lente delgada.
Passo 5
Interpretação física e conclusão prática:
- A equação mostra que não existe uma posição finita
que dê exatamente dentro do modelo padrão da lente delgada, porque isso exigiria infinito. - O único modo de a expressão
tender para é no limite , ou seja, se o objeto for colocado cada vez mais próximo do plano da lente a imagem tende a se aproximar do plano da lente. Mas colocar o objeto exatamente em (sobre a própria lente) é fora do regime físico onde a lente delgada e a fórmula acima fazem sentido (não se pode ter um objeto “dentro” da lente idealizada). - Portanto, não existe posição finita válida do objeto, segundo o modelo, que produza uma imagem com
.
Resposta
Não existe posição finita do objeto que produza
; apenas no limite
a imagem tende a
, mas esse caso não é físico dentro do modelo de lente delgada.