9.54 Como discutido na Seção 5.2, a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada se B_{i}<1 e quando implementada de forma conservativa para um longo cilindro, com o comprimento característico sendo o raio do cilindro. Após sua extrusão, um longo bastão de vidro com diâmetro D= 15 mm é suspenso horizontalmente em uma sala e resfriado a partir de sua temperatura inicial por convecção natural e radiação. Em quais temperaturas do bastão a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada? A temperatura do ar quiescente é a mesma da vizinhança, T_{\infty}= T_{\mathrm{viz}}=27^{\circ} \mathrm{C}, e a emissividade do vidro é \varepsilon=0,94.

Passo 1

O enunciado dá um bastão longo de vidro com diâmetro D=15\\ \mathrm{mm} (logo raio r=\tfrac{D}{2}), suspenso horizontalmente e resfriado por convecção natural e radiação. A temperatura do ar quiescente e da vizinhança é T_{\infty}=T_{\mathrm{viz}}=27^\circ\mathrm{C}. A emissividade do vidro é \varepsilon=0{,}94.
O que o exercício pede: determinar para quais temperaturas do bastão a aproximação pela capacitância global (lumped-capacitance) pode ser aplicada, tomando a condição de aplicabilidade \mathrm{Bi}<1 e, de forma conservativa para um cilindro longo, usando como comprimento característico o raio do cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • D=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • r=\dfrac{D}{2}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
  • T_{\infty}=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K} (usarei 300\\ \mathrm{K} arredondado quando conveniente).
  • \varepsilon=0{,}94.
  • Critério de aplicabilidade: \mathrm{Bi} < 1 com comprimento característico L_c = r.
    Nenhum outro dado numérico (como condutividade térmica do vidro ou propriedades do ar) foi fornecido no enunciado, então irei adotar valores típicos e explicar/justificar essas escolhas ao longo da resolução.

Passo 2

Definir a condição de aplicabilidade em termos matemáticos e as grandezas necessárias.
A definição do número de Biot (usando L_c=r) é
\mathrm{Bi}=\frac{h_{\text{tot}}\,L_c}{k},
onde:
  • h_{\text{tot}} é o coeficiente global de transferência de calor na superfície (convecção + radiação linearizada),
  • L_c=r é o comprimento característico escolhido (raio do cilindro),
  • k é a condutividade térmica do material (vidro).
A condição pedido é
\mathrm{Bi}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad h_{\text{tot}}<\frac{k}{L_c}.
Vou calcular o limiar crítico
h_{\text{crit}}=\frac{k}{L_c},
e achar para quais temperaturas do bastão h_{\text{tot}}(T_s)<h_{\text{crit}}. Aqui T_s é a temperatura da superfície do bastão (em Kelvin).

Passo 3

Escolher valores e fórmulas para k, h_{\text{tot}} e explicar por quê.
Escolhas e justificativas (valores típicos):
  • Condutividade térmica do vidro: tomo k=1{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Este é um valor típico para vidros comuns (soda-lime / vidro de janela); se o vidro específico do problema tiver k diferente, o resultado escala linearmente com k.
  • Comprimento característico: L_c=r=0{,}0075\\ \mathrm{m} (conforme enunciado, abordagem conservadora).
    Logo
h_{\text{crit}}=\frac{k}{L_c}=\frac{1{,}05}{0{,}0075}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\approx 140\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Modelo para h_{\text{tot}}:
h_{\text{tot}} = h_{\text{conv}} + h_{\text{rad}},
onde:
  • h_{\text{conv}} vem da convecção natural ao redor de um cilindro horizontal. Vou usar a correlação de Churchill–Chu para cilindro horizontal (válida numa grande faixa de Ra):
\mathrm{Nu}_D=\left[\,0{,}60 + \frac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\Big(1+(0{,}559/\mathrm{Pr})^{9/16}\Big)^{8/27}}\,\right]^2,
e então
h_{\text{conv}}=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k_{\text{air}}}{D}.
Explico as variáveis:
  • \mathrm{Ra}_D é o número de Rayleigh baseado no diâmetro D: \mathrm{Ra}_D=\mathrm{Gr}_D\cdot\mathrm{Pr}.
  • \mathrm{Gr}_D = \dfrac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^3}{\nu^2} é o número de Grashof (g aceleração da gravidade, \beta coef. de expansão térmica do ar, \nu viscosidade cinemática).
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl do ar.
  • k_{\text{air}} é condutividade térmica do ar avaliada na temperatura filme.
  • h_{\text{rad}} é a contribuição radiativa linearizada. Vou usar a linearização clássica em torno da temperatura filme T_f = \dfrac{T_s+T_\infty}{2}:
h_{\text{rad}} \approx 4\,\varepsilon\,\sigma\,T_f^3,
onde \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}.
Observação didática rápida sobre linearização: a lei de Stefan–Boltzmann dá fluxo radiativo por unidade de área q_{\text{rad}}=\varepsilon\sigma\,(T_s^4-T_\infty^4). Para somar com convecção geralmente usamos uma aproximação linear em termos de uma taxa proporcional a T_s-T_\infty; essa constante efetiva é justamente h_{\text{rad}}=(q_{\text{rad}})/(T_s-T_\infty). Para diferenças moderadas, e para facilitar análise, costuma-se aproximar esse coeficiente por 4\varepsilon\sigma T_f^3 com T_f a temperatura filme.
Comentário sobre propriedades do ar: as propriedades \nu, k_{\text{air}}, \mathrm{Pr} variam com temperatura; por simplicidade e clareza num exame prático, avalia-se essas propriedades no T_f. Vou usar valores típicos aproximados para as temperaturas filme consideradas (indicarei as aproximações numéricas quando usadas). Essas aproximações são aceitáveis para um problema de prova; para análise mais precisa faria uma tabela ou consultaria propriedades do ar.

Passo 4

Calcular numericamente h_{\text{crit}} e montar a condição numérica de aplicabilidade.
Já calculei
h_{\text{crit}}=\frac{k}{r}=\frac{1{,}05}{0{,}0075}\approx 140\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Portanto a condição \mathrm{Bi}<1 fica
h_{\text{tot}}(T_s)=h_{\text{conv}}(T_s)+h_{\text{rad}}(T_s) < 140.
Agora vou estimar h_{\text{tot}} para alguns valores representativos de T_s (transformados para Kelvin) e procurar o valor de T_s em que h_{\text{tot}} atinge 140\\ \mathrm{W/(m^2K)}. O cálculo será ilustrativo e com as etapas bem detalhadas.
Constantes usadas:
\sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\qquad D=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Propriedades do ar (valores aproximados a cada T_f que vou usar; esses números são típicos e suficientes para o propósito da prova):
  • Em torno de T_f\sim 800\text{–}1000\\ \mathrm{K}: \mathrm{Pr}\approx 0{,}7, k_{\text{air}}\approx 0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \nu (viscosidade cinemática) entre 4\times10^{-5} e 6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
    (Quando eu usar \nu e k_{\text{air}} específicos, explicarei qual valor escolhi e por quê.)
Vou fazer dois cálculos demonstrativos e depois encontrar por interpolação o T_s que dá h_{\text{tot}}\approx 140.
Exemplo 1: T_s=1000^\circ\mathrm{C}=1273\\ \mathrm{K}.
  • T_f=(T_s+T_\infty)/2=(1273+300)/2=786{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Calcular h_{\text{rad}}: h_{\text{rad}} \approx 4\varepsilon\sigma T_f^3 =4\cdot0{,}94\cdot5{,}6704\times10^{-8}\cdot(786{,}5)^3.Calculemos passo a passo: (786{,}5)^3\approx 4{,}86\times10^8. Multiplicando por \sigma e 4\varepsilon obtemos aproximadamente h_{\text{rad}}\approx 4\cdot0{,}94\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot4{,}86\times10^8\approx 104\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Calcular h_{\text{conv}} (usando Churchill–Chu):
    • Escolho aproximações para as propriedades do ar em T_f\approx786{,}5\\ \mathrm{K}: \mathrm{Pr}\approx0{,}72, k_{\text{air}}\approx0{,}05\\ \mathrm{W/(mK)}, \nu\approx 4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. (Esses números são compatíveis com tabelas para ar nessa faixa.)
    • \beta\approx 1/T_f\approx 1/786{,}5=1{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
    • \Delta T=T_s-T_\infty=1273-300=973\\ \mathrm{K}.
    • Grashof: \mathrm{Gr}_D=\frac{g\beta\Delta T\,D^3}{\nu^2} \approx\frac{9{,}81\cdot1{,}27\times10^{-3}\cdot973\cdot(0{,}015)^3}{(4{,}0\times10^{-5})^2} \approx 2{,}6\times10^{4}.
    • Rayleigh: \mathrm{Ra}_D=\mathrm{Gr}_D\cdot\mathrm{Pr}\approx 2{,}6\times10^{4}\cdot0{,}72\approx1{,}9\times10^{4}.
    • \mathrm{Ra}_D^{1/6}\approx 5{,}1. O termo do denominador na correlação de Churchill–Chu é próximo de 1{,}20. Aplicando a fórmula: \mathrm{Nu}_D\approx\big(0{,}60 + \frac{0{,}387\cdot5{,}1}{1{,}20}\big)^2 \approx (0{,}60 +1{,}65)^2 \approx 5{,}09.
    • Assim h_{\text{conv}}=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k_{\text{air}}}{D}\approx\frac{5{,}09\cdot0{,}05}{0{,}015}\approx17{,}0\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Total: h_{\text{tot}}=h_{\text{rad}}+h_{\text{conv}}\approx104+17\approx121\\ \mathrm{W/(m^2K)}.Como 121<140, obtemos \mathrm{Bi}<1 (especificamente \mathrm{Bi}\approx \dfrac{121\cdot0{,}0075}{1{,}05}\approx0{,}86) — portanto a aproximação é válida a 1000^\circ\mathrm{C}.
Exemplo 2: T_s=1200^\circ\mathrm{C}=1473\\ \mathrm{K}.
  • T_f=(1473+300)/2=886{,}5\\ \mathrm{K}.
  • h_{\text{rad}}\approx 4\cdot0{,}94\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot(886{,}5)^3\approx 149\\ \mathrm{W/(m^2K)} (calculei (886{,}5)^3\approx6{,}97\times10^8 e segui a mesma multiplicação).
  • Para T_f\approx887\\ \mathrm{K} uso propriedades: \mathrm{Pr}\approx0{,}7, k_{\text{air}}\approx0{,}055\\ \mathrm{W/(mK)}, \nu\approx4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. Repetindo o processo de Gr–Ra e Churchill–Chu obtém-se \mathrm{Nu}_D\approx 4{,}85 e h_{\text{conv}}\approx\frac{4{,}85\cdot0{,}055}{0{,}015}\approx17{,}8\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Total: h_{\text{tot}}\approx149+17{,}8\approx167\\ \mathrm{W/(m^2K)}.Agora 167>140, então \mathrm{Bi}>1 e a aproximação sacrificaria precisão.

Passo 5

Determinar o valor limite aproximado de T_s para o qual h_{\text{tot}}=140\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Usei interpolação linear entre os dois exemplos (com h_{\text{tot}} praticamente variando de 121 a 167 quando T_s varia de 1000^\circ\mathrm{C} a 1200^\circ\mathrm{C}):
  • Em T_s=1000^\circ\mathrm{C}: h_{\text{tot}}\approx121.
  • Em T_s=1200^\circ\mathrm{C}: h_{\text{tot}}\approx167.
Queremos h_{\text{tot}}=140. Interpolando em T_s:
T_{\text{lim}}\approx 1000^\circ\mathrm{C} + (1200-1000)\frac{140-121}{167-121} =1000 + 200\cdot\frac{19}{46}\approx1000 + 82\approx1082^\circ\mathrm{C}.
Rondo para um valor prático e levando em conta as aproximações das propriedades do ar, concluo que o limite está perto de
T_s\approx 1080\text{–}1100^\circ\mathrm{C}.
Portanto, para temperaturas da superfície do bastão abaixo desse intervalo a aproximação pela capacitância global (com L_c=r) é válida ( \mathrm{Bi}<1); acima desse intervalo a contribuição radiativa domina o termo h_{\text{tot}} e pode levar a \mathrm{Bi}>1, invalidando a hipótese de temperatura uniforme no corpo.

Passo 6

Observações finais didáticas e de verificação (para a prova e para você se sentir confiante):
  • A razão principal para o critério falhar em altas temperaturas é a radiação: h_{\text{rad}} cresce com T_f^3, então em temperaturas muito altas a contribuição radiativa supera a convecção e leva h_{\text{tot}} a valores grandes.
  • Se você na prova tiver um valor diferente de k para o vidro, basta recalcular h_{\text{crit}}=k/r; o limite de temperatura escala de forma que um k maior permite h_{\text{tot}} maior (logo permite temperaturas mais altas antes de violar \mathrm{Bi}<1).
  • Se for requerida maior precisão, use tabelas de propriedades do ar (k, \nu,Pr) avaliadas precisamente em cada T_f e resolva numericamente a equação h_{\text{conv}}(T_s)+4\varepsilon\sigma\big(\tfrac{T_s+T_\infty}{2}\big)^3=h_{\text{crit}}.

Resposta

A aproximação pela capacitância global, com L_c=r, é válida para temperaturas de superfície do bastão aproximadamente até \;T_s\approx 1080\text{–}1100^\circ\mathrm{C} (isto é, para T_s\lesssim 1{,}36\times10^3\\ \mathrm{K}).

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