9.54 Como discutido na Seção 5.2, a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada se B_{i}<1 e quando implementada de forma conservativa para um longo cilindro, com o comprimento característico sendo o raio do cilindro. Após sua extrusão, um longo bastão de vidro com diâmetro D= 15 mm é suspenso horizontalmente em uma sala e resfriado a partir de sua temperatura inicial por convecção natural e radiação. Em quais temperaturas do bastão a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada? A temperatura do ar quiescente é a mesma da vizinhança, T_{\infty}= T_{\mathrm{viz}}=27^{\circ} \mathrm{C}, e a emissividade do vidro é \varepsilon=0,94.
Passo 1
O enunciado dá um bastão longo de vidro com diâmetro D=15\\ \mathrm{mm} (logo raio r=\tfrac{D}{2}), suspenso horizontalmente e resfriado por convecção natural e radiação. A temperatura do ar quiescente e da vizinhança é T_{\infty}=T_{\mathrm{viz}}=27^\circ\mathrm{C}. A emissividade do vidro é \varepsilon=0{,}94.
O que o exercício pede: determinar para quais temperaturas do bastão a aproximação pela capacitância global (lumped-capacitance) pode ser aplicada, tomando a condição de aplicabilidade \mathrm{Bi}<1 e, de forma conservativa para um cilindro longo, usando como comprimento característico o raio do cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
D=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
r=\dfrac{D}{2}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
T_{\infty}=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K} (usarei 300\\ \mathrm{K} arredondado quando conveniente).
\varepsilon=0{,}94.
Critério de aplicabilidade: \mathrm{Bi} < 1 com comprimento característico L_c = r.
Nenhum outro dado numérico (como condutividade térmica do vidro ou propriedades do ar) foi fornecido no enunciado, então irei adotar valores típicos e explicar/justificar essas escolhas ao longo da resolução.
Passo 2
Definir a condição de aplicabilidade em termos matemáticos e as grandezas necessárias.
A definição do número de Biot (usando L_c=r) é
\mathrm{Bi}=\frac{h_{\text{tot}}\,L_c}{k},
onde:
h_{\text{tot}} é o coeficiente global de transferência de calor na superfície (convecção + radiação linearizada),
L_c=r é o comprimento característico escolhido (raio do cilindro),
e achar para quais temperaturas do bastão h_{\text{tot}}(T_s)<h_{\text{crit}}. Aqui T_s é a temperatura da superfície do bastão (em Kelvin).
Passo 3
Escolher valores e fórmulas para k, h_{\text{tot}} e explicar por quê.
Escolhas e justificativas (valores típicos):
Condutividade térmica do vidro: tomo k=1{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Este é um valor típico para vidros comuns (soda-lime / vidro de janela); se o vidro específico do problema tiver k diferente, o resultado escala linearmente com k.
Comprimento característico: L_c=r=0{,}0075\\ \mathrm{m} (conforme enunciado, abordagem conservadora).
Logo
h_{\text{conv}} vem da convecção natural ao redor de um cilindro horizontal. Vou usar a correlação de Churchill–Chu para cilindro horizontal (válida numa grande faixa de Ra):
\mathrm{Ra}_D é o número de Rayleigh baseado no diâmetro D: \mathrm{Ra}_D=\mathrm{Gr}_D\cdot\mathrm{Pr}.
\mathrm{Gr}_D = \dfrac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^3}{\nu^2} é o número de Grashof (g aceleração da gravidade, \beta coef. de expansão térmica do ar, \nu viscosidade cinemática).
\mathrm{Pr} é o número de Prandtl do ar.
k_{\text{air}} é condutividade térmica do ar avaliada na temperatura filme.
h_{\text{rad}} é a contribuição radiativa linearizada. Vou usar a linearização clássica em torno da temperatura filme T_f = \dfrac{T_s+T_\infty}{2}:
onde \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}.
Observação didática rápida sobre linearização: a lei de Stefan–Boltzmann dá fluxo radiativo por unidade de área q_{\text{rad}}=\varepsilon\sigma\,(T_s^4-T_\infty^4). Para somar com convecção geralmente usamos uma aproximação linear em termos de uma taxa proporcional a T_s-T_\infty; essa constante efetiva é justamente h_{\text{rad}}=(q_{\text{rad}})/(T_s-T_\infty). Para diferenças moderadas, e para facilitar análise, costuma-se aproximar esse coeficiente por 4\varepsilon\sigma T_f^3 com T_f a temperatura filme.
Comentário sobre propriedades do ar: as propriedades \nu, k_{\text{air}}, \mathrm{Pr} variam com temperatura; por simplicidade e clareza num exame prático, avalia-se essas propriedades no T_f. Vou usar valores típicos aproximados para as temperaturas filme consideradas (indicarei as aproximações numéricas quando usadas). Essas aproximações são aceitáveis para um problema de prova; para análise mais precisa faria uma tabela ou consultaria propriedades do ar.
Passo 4
Calcular numericamente h_{\text{crit}} e montar a condição numérica de aplicabilidade.
Agora vou estimar h_{\text{tot}} para alguns valores representativos de T_s (transformados para Kelvin) e procurar o valor de T_s em que h_{\text{tot}} atinge 140\\ \mathrm{W/(m^2K)}. O cálculo será ilustrativo e com as etapas bem detalhadas.
Propriedades do ar (valores aproximados a cada T_f que vou usar; esses números são típicos e suficientes para o propósito da prova):
Em torno de T_f\sim 800\text{–}1000\\ \mathrm{K}: \mathrm{Pr}\approx 0{,}7, k_{\text{air}}\approx 0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \nu (viscosidade cinemática) entre 4\times10^{-5} e 6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Quando eu usar \nu e k_{\text{air}} específicos, explicarei qual valor escolhi e por quê.)
Vou fazer dois cálculos demonstrativos e depois encontrar por interpolação o T_s que dá h_{\text{tot}}\approx 140.
Calcular h_{\text{rad}}:h_{\text{rad}} \approx 4\varepsilon\sigma T_f^3 =4\cdot0{,}94\cdot5{,}6704\times10^{-8}\cdot(786{,}5)^3.Calculemos passo a passo: (786{,}5)^3\approx 4{,}86\times10^8. Multiplicando por \sigma e 4\varepsilon obtemos aproximadamenteh_{\text{rad}}\approx 4\cdot0{,}94\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot4{,}86\times10^8\approx 104\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Calcular h_{\text{conv}} (usando Churchill–Chu):
Escolho aproximações para as propriedades do ar em T_f\approx786{,}5\\ \mathrm{K}: \mathrm{Pr}\approx0{,}72, k_{\text{air}}\approx0{,}05\\ \mathrm{W/(mK)}, \nu\approx 4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. (Esses números são compatíveis com tabelas para ar nessa faixa.)
\mathrm{Ra}_D^{1/6}\approx 5{,}1. O termo do denominador na correlação de Churchill–Chu é próximo de 1{,}20. Aplicando a fórmula:\mathrm{Nu}_D\approx\big(0{,}60 + \frac{0{,}387\cdot5{,}1}{1{,}20}\big)^2 \approx (0{,}60 +1{,}65)^2 \approx 5{,}09.
h_{\text{rad}}\approx 4\cdot0{,}94\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot(886{,}5)^3\approx 149\\ \mathrm{W/(m^2K)} (calculei (886{,}5)^3\approx6{,}97\times10^8 e segui a mesma multiplicação).
Para T_f\approx887\\ \mathrm{K} uso propriedades: \mathrm{Pr}\approx0{,}7, k_{\text{air}}\approx0{,}055\\ \mathrm{W/(mK)}, \nu\approx4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. Repetindo o processo de Gr–Ra e Churchill–Chu obtém-se \mathrm{Nu}_D\approx 4{,}85 eh_{\text{conv}}\approx\frac{4{,}85\cdot0{,}055}{0{,}015}\approx17{,}8\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Total:h_{\text{tot}}\approx149+17{,}8\approx167\\ \mathrm{W/(m^2K)}.Agora 167>140, então \mathrm{Bi}>1 e a aproximação sacrificaria precisão.
Passo 5
Determinar o valor limite aproximado de T_s para o qual h_{\text{tot}}=140\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Usei interpolação linear entre os dois exemplos (com h_{\text{tot}} praticamente variando de 121 a 167 quando T_s varia de 1000^\circ\mathrm{C} a 1200^\circ\mathrm{C}):
Em T_s=1000^\circ\mathrm{C}: h_{\text{tot}}\approx121.
Em T_s=1200^\circ\mathrm{C}: h_{\text{tot}}\approx167.
Rondo para um valor prático e levando em conta as aproximações das propriedades do ar, concluo que o limite está perto de
T_s\approx 1080\text{–}1100^\circ\mathrm{C}.
Portanto, para temperaturas da superfície do bastão abaixo desse intervalo a aproximação pela capacitância global (com L_c=r) é válida (\mathrm{Bi}<1); acima desse intervalo a contribuição radiativa domina o termo h_{\text{tot}} e pode levar a \mathrm{Bi}>1, invalidando a hipótese de temperatura uniforme no corpo.
Passo 6
Observações finais didáticas e de verificação (para a prova e para você se sentir confiante):
A razão principal para o critério falhar em altas temperaturas é a radiação: h_{\text{rad}} cresce com T_f^3, então em temperaturas muito altas a contribuição radiativa supera a convecção e leva h_{\text{tot}} a valores grandes.
Se você na prova tiver um valor diferente de k para o vidro, basta recalcular h_{\text{crit}}=k/r; o limite de temperatura escala de forma que um k maior permite h_{\text{tot}} maior (logo permite temperaturas mais altas antes de violar \mathrm{Bi}<1).
Se for requerida maior precisão, use tabelas de propriedades do ar (k,\nu,Pr) avaliadas precisamente em cada T_f e resolva numericamente a equação h_{\text{conv}}(T_s)+4\varepsilon\sigma\big(\tfrac{T_s+T_\infty}{2}\big)^3=h_{\text{crit}}.
Resposta
A aproximação pela capacitância global, com L_c=r, é válida para temperaturas de superfície do bastão aproximadamente até \;T_s\approx 1080\text{–}1100^\circ\mathrm{C} (isto é, para T_s\lesssim 1{,}36\times10^3\\ \mathrm{K}).