9.49 O coeficiente de convecção natural médio nas superfícies externas de um longo duto retangular na posição horizontal exposto a um fluido quiescente pode ser estimado com a correlação de Hahn-Didion (H-D) [ASHRAE Proceedings, Parte 1, pp. 262-67, 1972]:
\overline{N u}_{P}=0,55 R a_{P}^{1 / 4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1 / 8} \quad R a_{P} \leq 10^{7}
na qual o comprimento característico é a metade do perímetro, P=(w +H ), e w e H são, respectivamente, a largura horizontal e a altura vertical do duto. As propriedades termofísicas são calculadas na temperatura do filme.
Calcule o coeficiente convectivo médio e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento considerando o duto sendo formado por placas verticais (laterais) e placas horizontais (topo e base). Você espera que esta estimativa seja maior ou menor do que a obtida com a correlação H-D? Explique a diferença, se houver.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão (pego do enunciado):
Pede: calcular o coeficiente convectivo médio e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do duto retangular longo, considerando (a) a correlação de Hahn–Didion (H‑D) aplicada ao perímetro e (b) o tratamento do duto como composto por 2 placas verticais (laterais) e 2 placas horizontais (topo e base) usando correlações adequadas para cada placa. Depois, comparar qual estimativa (placas) é maior/menor que a da H‑D e explicar por quê.
Informações/dados fornecidos:
Correlação H‑D:\overline{N u}_{P}=0,55\,R a_{P}^{1/4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1/8},\qquad R a_{P}\le 10^{7},onde o comprimento característico é a metade do perímetro, e o enunciado define esse comprimento comoP = w + H,com w = largura (horizontal) do duto e H = altura (vertical) do duto.
Propriedades avaliadas na temperatura de filme: viscosidade cinemática \nu, difusividade térmica \alpha, condutividade térmica do ar k, coeficiente de expansão volumétrica \beta (para gás ideal \beta\approx 1/T_{f}), número de Prandtl \Pr=\nu/\alpha.
A diferença de temperatura relevante é \Delta T = T_{s}-T_{\infty} (temperatura da superfície menos temperatura do fluido ambiente).
Observações importantes (não pedidas, mas necessárias para resolver):
Rayleigh baseado em P:R a_{P}=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,P^{3}}{\nu\,\alpha}.
Relação entre Nusselt e coeficiente convectivo médio:\overline{N u}=\frac{h\,L_{c}}{k},onde L_{c} é o comprimento característico usado na definição de \overline{N u} (aqui L_{c}=P para a correlação H‑D; para placas usaremos L_{c}=H ou L_{c}=w conforme apropriado).
Passo 2
Usando a correlação Hahn–Didion: expressão passo a passo para h e para a taxa por unidade de comprimento.
Começo escrevendo a correlação e o Ra em termos das propriedades:\overline{N u}_{P}=0,55\;R a_{P}^{1/4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1/8}, \qquad R a_{P}=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,P^{3}}{\nu\,\alpha}.
A relação entre \overline{N u}_{P} e o coeficiente médio convectivo médio \overline{h}_{\!P} (baseado em P) é\overline{N u}_{P}=\frac{\overline{h}_{\!P}\,P}{k} \quad\Longrightarrow\quad \overline{h}_{\!P}=\frac{k}{P}\,\overline{N u}_{P}.
Substituo \overline{N u}_{P} e exponencio R a_{P}^{1/4} explicitamente:R a_{P}^{1/4}=\left(\frac{g\,\beta\,\Delta T\,P^{3}}{\nu\,\alpha}\right)^{1/4} =\frac{(g\,\beta)^{1/4}\,\Delta T^{1/4}\,P^{3/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}.
Simplifico as potências de P. As potências em P ficam: -1 + 3/4 - 1/8 = -3/8. Assim\boxed{\displaystyle \overline{h}_{\!P}=0{,}55\,k\;\frac{(g\,\beta)^{1/4}\,\Delta T^{1/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}\;P^{-3/8}\;H^{1/8}.}Essa é a expressão do coeficiente médio de convecção segundo H‑D, em termos das propriedades e das dimensões w,H (lembre que P=w+H).
Agora a taxa de calor por unidade de comprimento (energia por comprimento do duto, por unidade de comprimento ao longo do eixo longo):
Área externa por unidade de comprimento do duto é o perímetro total; como usamos P como metade do perímetro (definição dada), o perímetro real por unidade de comprimento do duto é 2P = 2(w+H). Porém a correlação H‑D foi formulada para a média ao longo da metade do perímetro P (o enunciado indica essa escolha de P). A forma simples e coerente para a taxa por unidade de comprimento q' é:q'_{H\!D}=\overline{h}_{\!P}\,(\text{perímetro real por unidade de comprimento})\,\Delta T =\overline{h}_{\!P}\;2P\;\Delta T.í
Posso juntar \Delta T com \Delta T^{1/4} para escrever \Delta T^{5/4}; e juntar potências de P: P^{1-3/8}=P^{5/8}. Ficando\boxed{\displaystyle q'_{H\!D}=0{,}55\;2\,k\;\frac{(g\,\beta)^{1/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}\;P^{5/8}\;H^{1/8}\;\Delta T^{5/4}.}
Passo 3
Agora trato o duto “como placas” — ou seja, separo contribuições das 2 placas verticais (laterais) e das 2 placas horizontais (topo e base). Vou mostrar as correlações usuais e montar a soma das potências.
Geometria e áreas por unidade de comprimento:
Cada lateral (placa vertical) tem área por comprimento A_{\text{lat}}=H.
Topo e base (placas horizontais) têm área por comprimento A_{\text{top}}=A_{\text{base}}=w.
Para cada placa precisamos de uma correlação para \overline{N u} e então obter h por \overline{h}=k\,\overline{N u}/L_{c} com L_{c}=H para placas verticais e L_{c}=w para placas horizontais.
(a) Laterais (placa vertical, altura H):
Correlação conhecida (Churchill–Chu) para convecção natural média em placa vertical isoterma (válida em ampla faixa), escrita de forma compacta é:\overline{N u}_{H} =0{,}68+\frac{0{,}670\,R a_{H}^{1/4}}{\big[1+(0{,}492/\Pr)^{9/16}\big]^{4/9}},ondeR a_{H}=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,H^{3}}{\nu\,\alpha}.
Explicando a fórmula (rápida aula): a parte constante 0{,}68 representa o limite de baixíssimo R a (convecção fraca), e o termo proporcional a R a^{1/4} domina quando R a é grande (regime laminar excitado). O denominador com \Pr faz a transição com o número de Prandtl; para ar (\Pr\approx 0{,}7) esse denominador tende a um número próximo de 1, então muitas vezes se usa a aproximação\overline{N u}_{H}\approx 0{,}68+0{,}670\,R a_{H}^{1/4}para 10^{4}\lesssim R a_{H}\lesssim 10^{9}.
O coeficiente médio nas laterais:\overline{h}_{\text{lat}}=\frac{k}{H}\,\overline{N u}_{H}.
Potência por unidade de comprimento vinda das duas laterais:q'_{\text{lat}}=2\,\overline{h}_{\text{lat}}\,H\,\Delta T =2\,k\,\overline{N u}_{H}\,\Delta T.Observação prática muito útil: a dependência em H cancela na expressão final de q'_{\text{lat}} porque \overline{h}_{\text{lat}}H/k=\overline{N u}_{H}.
(b) Topo e base (placas horizontais; comprimento característico w):
Para placas horizontais isotermais há comportamento diferente dependendo se a superfície está aquecendo o ar por baixo (instável, “heated from below”) ou por cima (estável, “heated from above”). Para o duto com superfície mais quente que o ambiente, a placa superior externa (topo) aquece o ar por baixo (ar em contato com a face superior do topo é aquecido e se eleva) — isso é o caso instável (normalmente mais intensa); a placa inferior externa (base) aquece o ar por cima (caso estável, convecção menos eficiente). Uma forma empírica prática (usada em muitos livros) é:\begin{aligned} &\overline{N u}_{\text{top (heated from below)}}\approx 0{,}54\,R a_{w}^{1/4},\\[4pt] &\overline{N u}_{\text{base (heated from above)}}\approx 0{,}27\,R a_{w}^{1/4}, \end{aligned}válidas numa faixa ampla (aprox. 10^{5}\lesssim R a_{w}\lesssim 10^{11}); os coeficientes 0{,}54 e 0{,}27 refletem o fato de que a convecção é bem mais intensa quando a superfície aquece o fluido por baixo (instável).
Os coeficientes médios:\overline{h}_{\text{top}}=\frac{k}{w}\,\overline{N u}_{\text{top}},\qquad \overline{h}_{\text{base}}=\frac{k}{w}\,\overline{N u}_{\text{base}}.
As potências por unidade de comprimento:q'_{\text{top}}=\overline{h}_{\text{top}}\,w\,\Delta T=k\,\overline{N u}_{\text{top}}\,\Delta T, \quad q'_{\text{base}}=\overline{h}_{\text{base}}\,w\,\Delta T=k\,\overline{N u}_{\text{base}}\,\Delta T.Novamente, w cancela na expressão final em termos de N u.
(c) Soma total (placas)
Soma das contribuições das quatro faces por unidade de comprimento:\boxed{\displaystyle q'_{\text{placas}}=q'_{\text{lat}}+q'_{\text{top}}+q'_{\text{base}} =k\,\Delta T\Big(2\,\overline{N u}_{H}+\overline{N u}_{\text{top}}+\overline{N u}_{\text{base}}\Big).}
Se desejar os coeficientes médios \overline{h} “efetivos” por face:\overline{h}_{\text{lat}}=\frac{k}{H}\,\overline{N u}_{H},\qquad \overline{h}_{\text{top}}=\frac{k}{w}\,\overline{N u}_{\text{top}},\qquad \overline{h}_{\text{base}}=\frac{k}{w}\,\overline{N u}_{\text{base}}.]
Passo 4
Resumo das fórmulas úteis para aplicar na prática (colocar números, se desejado):
Pela correlação H‑D:\overline{h}_{\!P}=0{,}55\,k\;\frac{(g\,\beta)^{1/4}\,\Delta T^{1/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}\;P^{-3/8}\;H^{1/8},
Pela soma das placas (usar as correlações dadas):\overline{N u}_{H}=0{,}68+\frac{0{,}670\,R a_{H}^{1/4}}{\big[1+(0{,}492/\Pr)^{9/16}\big]^{4/9}},\quad R a_{H}=\frac{g\beta\Delta T H^{3}}{\nu\alpha},
\overline{N u}_{\text{top}}\approx 0{,}54\,R a_{w}^{1/4},\qquad \overline{N u}_{\text{base}}\approx 0{,}27\,R a_{w}^{1/4}, \qquad R a_{w}=\frac{g\beta\Delta T w^{3}}{\nu\alpha},
Interpretação física e comparação (por que uma estimativa costuma ser maior/menor que a outra):
A correlação H‑D “trata” o perímetro de forma global, usando um comprimento característico P=w+H que representa a metade do perímetro. Ela suaviza efeitos locais (cantos, diferença entre faces horizontais e verticais) e foi obtida empiricamente para longos dutos expostos ao ar quiescente.
O método das placas separa explicitamente as quatro faces e usa correlações específicas que capturam a física diferente das faces vertical e horizontal (especialmente o fato de que uma placa horizontal aquecendo o ar por baixo gera convecção muito mais intensa).
Consequência prática: se as faces horizontais têm papel importante (por exemplo w não é muito pequeno comparado a H, e a superfície está aquecendo o ar por baixo no topo), a contribuição forte da placa superior (coeficiente maior, por ser aquecimento instável) tende a aumentar o total q' em relação ao valor “médio” previsto por H‑D. Em outras palavras, o cálculo por placas frequentemente prevê uma taxa de calor total maior que a estimativa H‑D, porque H‑D é uma média empírica que “aplana” os picos de transferência em superfícies favoráveis à convecção.
Além disso, o método por placas permite capturar assimetrias (topo muito eficiente, base pouco eficiente), enquanto H‑D dá um valor único para todo o perímetro.
Porém, em alguns casos práticos (ex.: ducto muito achatado com w\gg H ou \,w\ll H), a diferença pode ser pequena ou até H‑D prever maior calor se a escolha de P reduzir o Ra de tal modo que a potência total aumente — portanto a comparação quantitativa exige números. Mas a expectativa geral e comum em engenharia é:\text{estimativa por placas (detalhada) \(\gtrsim\) estimativa H‑D (global),}‑sobretudo quando a placa superior (heated from below) domina a transferência.
Passo 6
Como usar isso na prova — guia prático e rápido (passo a passo que dá para fazer sem perder tempo):
Identifique w e H. Calcule P=w+H.
Calcule propriedades no T_{f}: k,\nu,\alpha,\beta,\Pr.
Calcule R a_{P} e verifique R a_{P}\le 10^{7} (condição H‑D).
Use as fórmulas do Passo 2 para \overline{h}_{\!P} e q'_{H\!D}.
Para o método por placas:
Calcule R a_{H} e R a_{w}.
Avalie \overline{N u}_{H} (Churchill–Chu) e \overline{N u}_{\text{top}},\overline{N u}_{\text{base}} pelas fórmulas do Passo 3.
Compare numericamente q'_{H\!D} e q'_{\text{placas}}. Se ficar sem tempo na prova, diga qualitativamente que a estimativa por placas geralmente dá valor maior e justifique rapidamente pelo efeito forte da placa superior aquecendo o ar por baixo.
Resposta
\displaystyle \overline{h}_{\!P}=0{,}55\,k\;\frac{(g\,\beta)^{1/4}\,\Delta T^{1/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}\;P^{-3/8}\;H^{1/8},\quad P=w+H.\n \displaystyle q'_{H\!D}=0{,}55\;2\,k\;\frac{(g\,\beta)^{1/4}}{(\nu\,\alpha)^{1/4}}\;P^{5/8}\;H^{1/8}\;\Delta T^{5/4}.\n \displaystyle \overline{N u}_{H}=0{,}68+\frac{0{,}670\,R a_{H}^{1/4}}{\big[1+(0{,}492/\Pr)^{9/16}\big]^{4/9}},\quad R a_{H}=\dfrac{g\beta\Delta T H^{3}}{\nu\alpha},\n \displaystyle \overline{N u}_{\text{top}}\approx 0{,}54\,R a_{w}^{1/4},\quad \overline{N u}_{\text{base}}\approx 0{,}27\,R a_{w}^{1/4},\quad R a_{w}=\dfrac{g\beta\Delta T w^{3}}{\nu\alpha}.\n \displaystyle \overline{h}_{\text{lat}}=\dfrac{k}{H}\overline{N u}_{H},\quad \overline{h}_{\text{top}}=\dfrac{k}{w}\overline{N u}_{\text{top}},\quad \overline{h}_{\text{base}}=\dfrac{k}{w}\overline{N u}_{\text{base}},\n \displaystyle q'_{\text{placas}}=k\,\Delta T\Big(2\,\overline{N u}_{H}+\overline{N u}_{\text{top}}+\overline{N u}_{\text{base}}\Big).\n
Conclusão qualitativa: a estimativa por placas costuma ser maior do que a estimativa H‑D, porque as correlações por placas capturam a convecção mais intensa na placa superior aquecendo o ar por baixo (e a assimetria entre faces), enquanto H‑D fornece um valor médio empírico que suaviza esses picos.