***55 Uma distribuiçăo de cargas nẫo uniforme, mas com simetria esférica, produz um campo elétrico de módulo E=K r, onde K é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual é a distribuição volumétrica de cargas p ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: dentro de uma distribuição esférica de carga (não uniforme), o campo elétrico vale
E(r)=K,r
sempre apontando pra fora. A nossa missão é descobrir a densidade volumétrica de carga (que o enunciado chama de ) em função de ou, quem sabe, achar que é constante.
Matéria: eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss na sua forma diferencial (∇·E = ). Vamos precisar saber como calcular a divergência de um campo elétrico radial em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, a forma diferencial da Lei de Gauss é
nabla!cdot!E = pvarepsilon0,,
onde nabla!cdot!E = 1r^2,ddrl(r^2,Err) é a permissividade do vácuo.
Mas, o que é ? É a divergência de , que, na prática, mede “o quanto o campo está saindo” de cada pontinho. Em coordenadas esféricas, para um campo só radial , temos a fórmula mágica:
É só aplicar isso com .

Passo 3

Vamos lá:
  1. Multiplica r^2,Er = r^2,(K,r) = K,r^3 por ddr(K,r^3) = 3,K,r^2: nabla!cdot!E = 1r^2,(3,K,r^2) = 3,K
  2. Deriva em relação a :
  3. Divide por :
Ou seja, a divergência é constante e vale .

Passo 4

Agora volta na Lei de Gauss diferencial:
nabla!cdot!E = pvarepsilon0 ;Longrightarrow; 3K = pvarepsilon0
Só isolar :

Resposta

p = 3,varepsilon0,K

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