***55 Uma distribuiçăo de cargas nẫo uniforme, mas com simetria esférica, produz um campo elétrico de módulo
, onde
é uma constante e
é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual é a distribuição volumétrica de cargas
?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: dentro de uma distribuição esférica de carga (não uniforme), o campo elétrico vale
sempre apontando pra fora. A nossa missão é descobrir a densidade volumétrica de carga (que o enunciado chama de
) em função de
ou, quem sabe, achar que é constante.
Matéria: eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss na sua forma diferencial (∇·E = ). Vamos precisar saber como calcular a divergência de um campo elétrico radial em coordenadas esféricas.
Matéria: eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss na sua forma diferencial (∇·E =
Passo 2
Primeiro, a forma diferencial da Lei de Gauss é
onde
é a permissividade do vácuo.
Mas, o que é ? É a divergência de
, que, na prática, mede “o quanto o campo está saindo” de cada pontinho. Em coordenadas esféricas, para um campo só radial
, temos a fórmula mágica:
Mas, o que é
É só aplicar isso com
.
Passo 3
Vamos lá:
- Multiplica
por : - Deriva em relação a
: - Divide por
:
Ou seja, a divergência é constante e vale
.
Passo 4
Agora volta na Lei de Gauss diferencial:
Só isolar
: