DETERMINE AS SÉRIES DE TAYLOR CENTRADA EM \mathbf{a}=\mathbf{0}, PARA:
f(x)=x^{3} \cdot \cos \left(\frac{1}{2} x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Taylor centrada em \mathbf{a}=\mathbf{0} (ou seja, a série de Maclaurin) da função
f(x)=x^{3}\cdot\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right).
  • Deve-se obter a expansão em potência de x ao redor de x=0 (série de Taylor centrada em 0).

Passo 2

Lembrete do que é a série de Taylor (Maclaurin) em 0:
\text{Se }g\text{ é infinitamente diferenciável em }0,\quad g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.éá
Aqui cada símbolo significa:
  • g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g avaliada em 0.
  • n! é o fatorial de n.
    Mas, na prática, quando a função é composta por funções já conhecidas (como \cos), é muito mais simples usar a série conhecida dessas funções e substituir, em vez de calcular derivadas de alto ordem uma a uma.

Passo 3

Série conhecida da função \cos t (válida para todo t):
\cos t=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{t^{2k}}{(2k)!}.
Explicação breve: o cosseno é função par, por isso aparecem apenas potências pares t^{2k}; o sinal alterna com (-1)^k e o denominador é (2k)! pela forma padrão da série de Maclaurin da cosseno. Essa série converge para todo t.

Passo 4

Substituir t=\tfrac{1}{2}x^{2} na série de \cos t. Assim:
\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right)^{2k}}{(2k)!} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{-2k}x^{4k}}{(2k)!}.
Aqui usei \left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right)^{2k}=(\tfrac{1}{2})^{2k}x^{4k}=2^{-2k}x^{4k}.

Passo 5

Multiplicar a série anterior por x^{3} (pois f(x)=x^{3}\cos(\tfrac{1}{2}x^{2})):
f(x)=x^{3}\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{-2k}x^{4k+3}}{(2k)!}.
Isso já é a série de Taylor centrada em 0 em forma somatória. Observação sobre o expoente: o termo geral tem potência x^{4k+3} porque multiplicamos x^{3} pela potência x^{4k} que veio da série do cosseno.

Passo 6

Calcular explicitamente os primeiros termos (para entender melhor os coeficientes):
  • Para k=0:
(-1)^{0}\frac{2^{-0}x^{0+3}}{0!}=x^{3}.
  • Para k=1:
(-1)^{1}\frac{2^{-2}x^{4+3}}{2!}=-\frac{1}{4}\frac{x^{7}}{2}=-\frac{x^{7}}{8}.
(Aqui (\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4} e (2)! = 2.)
  • Para k=2:
(-1)^{2}\frac{2^{-4}x^{8+3}}{4!}=\frac{1}{16}\frac{x^{11}}{24}=\frac{x^{11}}{384}.
(Aqui (\tfrac{1}{2})^{4}=\tfrac{1}{16} e 4!=24.)
  • Para k=3:
(-1)^{3}\frac{2^{-6}x^{12+3}}{6!}=-\frac{1}{64}\frac{x^{15}}{720}=-\frac{x^{15}}{46080}.
Assim, os primeiros termos são
x^{3}-\frac{x^{7}}{8}+\frac{x^{11}}{384}-\frac{x^{15}}{46080}+\cdots.

Passo 7

Sobre convergência: a série de \cos t converge para todo t, logo a série obtida após substituir t=\tfrac{1}{2}x^{2} e multiplicar por x^{3} também converge para todo x. Em linguagem técnica, a série tem raio de convergência infinito (a função é inteira).

Passo 8

Resumo final (forma mais compacta e forma expandida para uso em prova/estimativas):
  • Forma geral (termo geral):
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{-2k}}{(2k)!}\,x^{4k+3}.
  • Primeiros termos:
f(x)=x^{3}-\frac{x^{7}}{8}+\frac{x^{11}}{384}-\frac{x^{15}}{46080}+\cdots.

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{-2k}}{(2k)!}\,x^{4k+3}
f(x)=x^{3}-\frac{x^{7}}{8}+\frac{x^{11}}{384}-\frac{x^{15}}{46080}+\cdots

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