DETERMINE AS SÉRIES DE TAYLOR CENTRADA EM
, PARA:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a série de Taylor centrada em
(ou seja, a série de Maclaurin) da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se obter a expansão em potência de
ao redor de (série de Taylor centrada em ).
Passo 2
Lembrete do que é a série de Taylor (Maclaurin) em
:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de .
Mas, na prática, quando a função é composta por funções já conhecidas (como), é muito mais simples usar a série conhecida dessas funções e substituir, em vez de calcular derivadas de alto ordem uma a uma.
Passo 3
Série conhecida da função
(válida para todo
):
Explicação breve: o cosseno é função par, por isso aparecem apenas potências pares
; o sinal alterna com
e o denominador é
pela forma padrão da série de Maclaurin da cosseno. Essa série converge para todo
.
Passo 4
Substituir
na série de
. Assim:
Aqui usei
.
Passo 5
Multiplicar a série anterior por
(pois
):
Isso já é a série de Taylor centrada em
em forma somatória. Observação sobre o expoente: o termo geral tem potência
porque multiplicamos
pela potência
que veio da série do cosseno.
Passo 6
Calcular explicitamente os primeiros termos (para entender melhor os coeficientes):
- Para
:
- Para
:
(Aqui
e
.)
- Para
:
(Aqui
e
.)
- Para
:
Assim, os primeiros termos são
Passo 7
Sobre convergência: a série de
converge para todo
, logo a série obtida após substituir
e multiplicar por
também converge para todo
. Em linguagem técnica, a série tem raio de convergência infinito (a função é inteira).
Passo 8
Resumo final (forma mais compacta e forma expandida para uso em prova/estimativas):
- Forma geral (termo geral):
- Primeiros termos: