Exemplo 10.2: Em um canal retangular de 1,20 \mathrm{~m} de largura, quais são as profundidades nas quais é possível ter um escoamento de 3,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com uma energia específica de 2,86 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá um canal retangular de largura b=1,20\\ \mathrm{m}, uma vazão Q=3,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e pede as profundidades em que a energia específica vale E=2,86\\ \mathrm{m}. O conteúdo aqui é energia específica em escoamento aberto, definida por
E = y + \frac{u^2}{2g},
onde y é a profundidade, u a velocidade média e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Em canal retangular temos área molhada
A = b\,y
e velocidade média
u = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{b\,y}.
Substituindo em E, obtemos
E = y + \frac{1}{2g}\Bigl(\frac{Q}{b\,y}\Bigr)^{2} = y + \frac{Q^{2}}{2\,g\,b^{2}\,y^{2}}.

Passo 3

Agora impomos E=2,86\\ \mathrm{m}, Q=3,5\\ \mathrm{m^{3}/s} e b=1,20\\ \mathrm{m}:
2,86 = y + \frac{3,5^{2}}{2 \cdot 9,81 \cdot (1,20)^{2}\,y^{2}}.
Calculando o numerador fixo, define-se a constante
K = \frac{3,5^{2}}{2\cdot9,81\cdot1,20^{2}} \approx 0,4338,
ficando
2,86 = y + \frac{0,4338}{y^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y^{2} e arrumando em forma de polinômio, temos
y^{3} - 2,86\,y^{2} + 0,4338 = 0.
É um polinômio de grau três que pode admitir até três raízes, mas só interessam as positivas.

Passo 5

Usando refinamento numérico (tentativa e erro ou método de Newton/secante) para achar as raízes positivas, obtém-se
y_1 \approx 0,422\\ \mathrm{m}, \qquad y_2 \approx 2,809\\ \mathrm{m}.

Resposta

Profundidades possíveis:
\,y \approx 0,422\\ \mathrm{m} e \,y \approx 2,809\\ \mathrm{m}.

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