( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x 2 |x^2-2 x|x-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2 lvert x^2 - 2xrvertx-2
Como o denominador se anula em x=2 e há valor absoluto, vamos estudar os limites laterais usando a definição de lvertcdotrvert em dois casos ( x>2 e x<2).

Passo 2

Para x>2 temos
lvert x^2 - 2xrvert = x^2 - 2x = x(x-2),
logo
lvert x^2 - 2xrvertx-2 = x(x-2)x-2 = x
Portanto
limxto2^+lvert x^2 - 2xrvertx-2 = limxto2^+ x = 2

Passo 3

Para x<2 temos
lvert x^2 - 2xrvert = -(x^2 - 2x) = -x(x-2) = x(2-x),
então
lvert x^2 - 2xrvertx-2 = -x(x-2)x-2 = -x
Assim
limxto2^-lvert x^2 - 2xrvertx-2 = limxto2^-(-x) = -2

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( 2neq -2), logo o limite bidirecional não existe.

Resposta

O limite limxto2lvert x^2 - 2xrvertx-2 não existe.

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