6-57 The impeller of a centrifugal pump has inner and outer diameters of 13 and 30 cm , respectively, and a flow rate of 0.15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} at a rotational speed of 1200 rpm . The blade width of the impeller is 8 cm at the inlet and 3.5 cm at the outlet. If water enters the impeller in the radial direction and exits at an angle of 60^{\circ} from the radial direction, determine the minimum power requirement for the pump.

Passo 1

O enunciado dá um impulso de centrífuga com diâmetros interno e externo D_1=0{,}13,m e D_2=0{,}30,m, larguras das pás b_1=0{,}08,m e b_2=0{,}035,m, vazão Q=0{,}15, m^{3}/s e rotação N=1200,rpm. A água entra em direção radial \alpha_1=0^\circ, logo V_{\theta1}=0 e sai formando 60^\circ com a direção radial \alpha_2=60^\circ. O conteúdo é turbomáquinas centrífugas e usaremos a equação de Euler para bombas:
gH = u_2\,V_{\theta2} - u_1\,V_{\theta1}
e o requisito de potência mínima
P = \rho\,Q\,(u_2\,V_{\theta2} - u_1\,V_{\theta1}).

Passo 2

Calculamos os raios e velocidades periféricas:
r_1 = \frac{D_1}{2} = 0{,}065\text{ m},\quad r_2=\frac{D_2}{2}=0{,}15\text{ m},
\omega = \frac{2\pi N}{60} = 40\pi\text{ rad/s},
u_1 = \omega\,r_1 = 40\pi\cdot0{,}065 \approx 8{,}17\text{ m/s},\quad u_2 = \omega\,r_2 = 40\pi\cdot0{,}15 \approx 18{,}85\text{ m/s}.

Passo 3

Pelam continuidade na seção radial a vazão é
A_1 = 2\pi\,r_1\,b_1,\quad A_2 = 2\pi\,r_2\,b_2,
V_{r1} = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}15}{2\pi\cdot0{,}065\cdot0{,}08} \approx 4{,}59\text{ m/s},
V_{r2} = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}15}{2\pi\cdot0{,}15\cdot0{,}035} \approx 4{,}55\text{ m/s}.

Passo 4

No ingresso V_{\theta1}=0 por ser fluxo estritamente radial.

Passo 5

No escoamento de saída, V_{r2} e V_{\theta2} formam um ângulo de 60^\circ. Logo,
V_{\theta2} = V_{r2}\,\tan(60^\circ) = 4{,}55\cdot\sqrt{3} \approx 7{,}88\text{ m/s}.

Passo 6

Aplicamos a equação de Euler em potência (densidade \rho=1000,kg/ m^{3}):
P = \rho\,Q\,(u_2\,V_{\theta2} - u_1\,V_{\theta1}) = 1000\cdot0{,}15\,(18{,}85\cdot7{,}88 - 8{,}17\cdot0) \approx 1000\cdot0{,}15\cdot148{,}5 \approx 2{,}227\times10^4\text{ W}.

Resposta

A potência mínima requerida é aproximadamente
P \approx 22{,}3\text{ kW}.

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