6-62E A spacecraft cruising in space at a constant velocity of 1500 \mathrm{ft} / \mathrm{s} has a mass of 18,000 \mathrm{lbm}. To slow down the spacecraft, a solid fuel rocket is fired, and the combustion gases leave the rocket at a constant rate of 150 \mathrm{lbm} / \mathrm{s} at a velocity of 5000 \mathrm{ft} / \mathrm{s} in the same direction as the spacecraft for a period of 5 s . Assuming the mass of the spacecraft remains constant, determine (a) the deceleration of the spacecraft during this 5 -s period, ( b ) the change of velocity of the spacecraft during this time period, and (c) the thrust exerted on the spacecraft.

Passo 1

O enunciado dá uma espaçonave de massa 18\,000 lbm viajando a 1\,500 ft/s. Para freá-la, joga gases para a frente (mesma direção da nave) com taxa de fluxo de massa \dot m=150 lbm/s e velocidade relativa dos gases V_e=5\,000 ft/s, durante t=5 s. Como a massa da nave é constante, podemos usar o princípio da quantidade de movimento para calcular (a) a desaceleração, (b) a variação de velocidade e (c) o empuxo (thrust).

Passo 2

Empuxo é definida pela troca de quantidade de movimento dos gases:
F \;=\;\frac{\dot m \,V_e}{g_c},
onde em unidades inglesas g_c=32{.}174 lb m\cdot ft/(lbf· s^{2}). Substituindo,
F = \frac{150\;\mathrm{lbm/s}\;\times 5\,000\;\mathrm{ft/s}}{32{.}174\;\mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^2)}} \approx 2{.}33\times10^4\;\mathrm{lbf}.

Passo 3

Para achar a desaceleração, convertemos a massa da nave em slugs:
m = \frac{18\,000\;\mathrm{lbm}}{32{.}174\;\mathrm{lbm/(slug)}}\approx559{.}6\;\mathrm{slug}.
Então
a = \frac{F}{m} = \frac{2{.}33\times10^4\;\mathrm{lbf}}{559{.}6\;\mathrm{slug}} \approx 41{.}6\;\mathrm{ft/s^2}.
Como o empuxo é dirigido para frear, a aceleração é negativa na direção do movimento.

Passo 4

A variação de velocidade em t=5 s é
\Delta v = a\,t = -41{.}6\;\mathrm{ft/s^2}\times 5\;\mathrm{s} = -208\;\mathrm{ft/s}.

Resposta

(a) A desaceleração é
a = -41{.}6\;\mathrm{ft/s^2}.
(b) A mudança de velocidade é
\Delta v = -208\;\mathrm{ft/s}.
(c) O empuxo produzido é
F = 2{.}33\times10^4\;\mathrm{lbf}.

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