6-56E Water enters the impeller of a centrifugal pump radially at a rate of 80 cfm (cubic feet per minute) when the shaft is rotating at 500 rpm . The tangential component of absolute velocity of water at the exit of the 2-\mathrm{ft} outer diameter impeller is 180 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Determine the torque applied to the impeller.

Passo 1

O enunciado dá uma entrada radial de água em um impelidor de diâmetro externo de 2\\ \text{ft}, com vazão volumétrica de 80\\ \text{cfm} e rotação de 500\\ \text{rpm}. Sabe-se que a componente tangencial da velocidade absoluta na saída é 180\\ \text{ft/s}. Queremos o torque aplicado ao impelidor usando a equação de Euler para turbomáquinas, que relaciona torque com a variação do momento angular do fluido.

Passo 2

Primeiro convertemos a vazão volumétrica para pés cúbicos por segundo:
Q = \frac{80\\ \text{ft}^3/\min}{60\\ \text{s}/\min} = 1{,}3333\\ \text{ft}^3/\text{s}.

Passo 3

Determinamos a massa de água que passa por segundo. A densidade de peso da água é \rho_g=62{,}4\\ \text{lbf}/\text{ft}^3. Então a densidade de massa é
\rho = \frac{\rho_g}{g} = \frac{62{,}4}{32{,}2}\approx1{,}9379\\ \text{slug}/\text{ft}^3.
Logo a vazão mássica é
\dot m = \rho\,Q = 1{,}9379\cdot1{,}3333 \approx2{,}5838\\ \text{slug}/\text{s}.

Passo 4

A equação de Euler em forma de torque diz que
T = \dot m\bigl(r_2\,v_{u2} - r_1\,v_{u1}\bigr).
Como a entrada é radial, v_{u1}=0, e o raio externo é r_2 = \tfrac{2\\ \text{ft}}{2}=1\\ \text{ft}. Assim
T = \dot m\,(1\\ \text{ft})\,(180\\ \text{ft/s}).

Passo 5

Substituindo valores,
T = 2{,}5838\cdot1\cdot180 \approx465{,}1\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}.
Portanto, o torque aplicado ao impelidor é cerca de 465\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}.

Resposta

O torque aplicado ao impelidor vale aproximadamente 465\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}.

Exercícios relacionados