57

Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} a uma vazão de 3,06 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Ao fluir para o trecho de menor seção, o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Para o sistema descrito acima, a vazão e a velocidade do ar no trecho de menor seção, respectivamente, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} \mathrm{e} \mathrm{m} / \mathrm{s}, são
(Dados:
\rho VA=constante
\rho é a massa específica do fluido
V é a velocidade do fluido
é a área da seção transversal ao escoamento)
(A) 3,06 e 43,3
(B) 3,06 e 121,6
(C) 3,82 e 43,3
(D) 3,82 e 121,6
(E) 3,82 e 243,2

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a vazão volumétrica e a velocidade do ar no trecho de menor seção. Dados fornecidos (todos estão em TeX):
d_A=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}
d_B=200\\ \mathrm{mm}=0,2\\ \mathrm{m}
\gamma_A=9,8\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3
\gamma_B=7,85\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3
Q_A=3,06\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
Perguntas explícitas: encontrar
Q_B\quad\text{(vazão no trecho menor, em \(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\))}ã
V_B\quad\text{(velocidade no trecho menor, em \(\mathrm{m}/\mathrm{s}\))}

Passo 2

Primeiro preciso transformar o peso específico \gamma em massa específica \rho. A relação é
\gamma=\rho g,
onde g é a aceleração da gravidade. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (valor coerente com os dados). Assim
\rho=\frac{\gamma}{g}.
Calculo \rho_A e \rho_B:
\rho_A=\frac{\gamma_A}{g}=\frac{9,8}{9,8}=1{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
\rho_B=\frac{\gamma_B}{g}=\frac{7,85}{9,8}=0{,}8\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
Explicação didática curta: dividir o peso por g transforma Newton por metro cúbico em quilograma por metro cúbico — ou seja, obtemos a densidade (massa por volume).

Passo 3

Agora aplico a conservação de massa para escoamento estacionário unidimensional: a massa que entra por segundo no trecho A deve sair por segundo no trecho B. Em termos de vazões volumétricas Q (onde Q=V\cdot A) isso dá
\rho_A Q_A=\rho_B Q_B.
Despejando Q_B:
Q_B=\frac{\rho_A}{\rho_B}\,Q_A.
Substituo os valores:
\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{1{,}0}{0{,}8}=1{,}25
Q_B=1{,}25\cdot 3{,}06=3{,}825\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondo de forma consistente com as opções: Q_B=3{,}82\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 4

Agora calculo a velocidade no trecho menor usando V_B=Q_B/A_B. Primeiro a área da seção circular menor:
A_B=\frac{\pi d_B^2}{4}=\frac{\pi (0{,}2)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}01=0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^2.
Valor numérico:
A_B\approx 0{,}01\cdot 3{,}14159=0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
Agora a velocidade:
V_B=\frac{Q_B}{A_B}=\frac{3{,}825}{0{,}0314159}\approx 121{,}68\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando conforme as opções: V_B=121{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Explicação didática: a vazão aumentou porque a densidade caiu (o ar expandiu), então para manter a mesma massa por segundo o volume por segundo no trecho menor é maior; como a área do trecho menor é bem menor, essa vazão volumétrica maior resulta numa velocidade bem alta.

Passo 5

Resumo e verificação rápida das unidades: Q_B está em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e V_B em \mathrm{m}/\mathrm{s}; as contas respeitam as unidades (massa preservada), e os valores coincidem com uma das alternativas fornecidas.

Resposta

Q_B=3,82\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
V_B=121,6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados