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Em uma área industrial, um duto de seçāo reta retangular transporta uma corrente de gás a 250^{\circ} \mathrm{C} através de um ambientẹ a 30^{\circ} \mathrm{C}. Os valores do coeficiente de convecção as sociados ao escoamento da corrente de gás e ao movimento do ar no meio exterior são, respectivamente, 400 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1} e 20 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Visando a garantir a integridade fisica dos trabalhadores envolvidos na operação, é necessário instalar uma camada de isolamento térmico (condutividade térmica: 0,1 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ), de forma que a temperatura da superficie exposta para o ambiente não ultrapasse 50^{\circ} \mathrm{C}. Considerando-se a resistẽncia térmica condutiva na parede do duto e a perda de calor por radiação despreziveis, a espessura mínima dessa camada de isolamento é, aproximadamente,
(A) 5 mm
(B) 10 mm
(C) 20 mm
(D) 50 mm
(E) 100 mm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a espessura mínima do isolamento para que a superfície exposta não ultrapasse 50^\circ\mathrm{C}:
  • Temperatura da corrente de gás (interna): T_i = 250^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (externa): T_\infty = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção do escoamento interno: h_i = 400\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.
  • Coeficiente de convecção do ar externo: h_e = 20\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.
  • Condutividade térmica do isolamento: k = 0{,}1\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Temperatura máxima permitida na superfície exposta (face externa do isolamento): T_s^{\text{max}} = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Despreza-se a perda por radiação e considera-se resistência condutiva na parede do duto (será incluída na rede de resistências — no caso aqui a resistência que importa é a do isolamento, pois não foi dada espessura/condutividade da parede metálica).
O que é pedido: a espessura mínima L do isolamento (em mm) que garanta T_s \le 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo o modelo físico e as resistências térmicas (aula rápida e prática):
Quando temos transferência de calor entre o gás quente e o ambiente passando por convecção e por uma camada de isolamento, podemos representar as quedas de temperatura por resistências térmicas em série:
  • Resistência convectiva interna (por unidade de área): \displaystyle R_i = \frac{1}{h_i}.
  • Resistência condutiva do isolamento (por unidade de área): \displaystyle R_{\text{cond}} = \frac{L}{k}, onde L é a espessura do isolamento.
  • Resistência convectiva externa (por unidade de área): \displaystyle R_e = \frac{1}{h_e}.
Aqui “por unidade de área” significa que estamos calculando o fluxo de calor por metro quadrado ( \mathrm{W/m^2}). Essa simplificação é muito útil em prova: escolhemos área A=1\\ \mathrm{m^2}.
A resistência térmica total (por unidade de área) é, portanto:
R_{\text{tot}} = \frac{1}{h_i} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h_e}.
A diferença de temperatura entre o gás e o ambiente, \Delta T = T_i - T_\infty, está relacionada ao fluxo de calor por unidade de área q por:
q = \frac{T_i - T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
Explicando em palavras: o calor que sai do gás deve atravessar essas três “barreiras” (convecção interna, condução no isolamento, convecção externa); o fluxo é o mesmo através de todas elas e é determinado pela queda total de temperatura dividida pela soma das resistências.

Passo 3

Relação entre a temperatura da superfície externa T_s e o fluxo q:
A queda de temperatura apenas na película externa (convecção externa) é
T_s - T_\infty = q \cdot R_e = q\cdot\frac{1}{h_e}.
Logo, isolando q,
q = h_e\,(T_s - T_\infty).
Como queremos que a superfície externa satisfaça T_s \le T_s^{\text{max}} = 50^\circ\mathrm{C}, para calcular a espessura mínima é suficiente considerar o caso limite T_s = 50^\circ\mathrm{C} e achar L correspondente.

Passo 4

Calcule o fluxo de calor correspondente ao limite T_s = 50^\circ\mathrm{C}:
Usando \displaystyle q = h_e\,(T_s - T_\infty), substituindo os valores:
q = 20\\ \bigl(50 - 30\bigr)\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
Fazendo a conta:
q = 20 \times 20 = 400\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
Interpretação: para que a face externa fique a 50^\circ\mathrm{C} o fluxo por metro quadrado deve ser 400\\ \mathrm{W/m^2}. Se o isolamento fosse mais fino, o fluxo seria maior e a superfície excederia 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Agora usamos a equação do fluxo total para achar L:
Temos
q = \frac{T_i - T_\infty}{\dfrac{1}{h_i} + \dfrac{L}{k} + \dfrac{1}{h_e}}.
Isolando \dfrac{L}{k}:
\frac{L}{k} = \frac{T_i - T_\infty}{q} - \frac{1}{h_i} - \frac{1}{h_e}.
Substituindo os valores numéricos (todos em unidades SI):
\frac{T_i - T_\infty}{q} = \frac{250 - 30}{400} = \frac{220}{400} = 0{,}55\\ \mathrm{(K\cdot m^2/W)}.
\frac{1}{h_i} = \frac{1}{400} = 0{,}0025\\ \mathrm{(m^2\cdot K/W)}.
\frac{1}{h_e} = \frac{1}{20} = 0{,}05\\ \mathrm{(m^2\cdot K/W)}.
Agora:
\frac{L}{k} = 0{,}55 - 0{,}0025 - 0{,}05 = 0{,}4975\\ \mathrm{(m^2\cdot K/W)}.
Multiplicando por k = 0{,}1\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} para obter L:
L = k\cdot 0{,}4975 = 0{,}1 \times 0{,}4975 = 0{,}04975\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
L = 0{,}04975\\ \mathrm{m} = 49{,}75\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Arredondamento e conclusão prática:
  • A espessura mínima de isolamento necessária é aproximadamente 49{,}75\\ \mathrm{mm}, que arredondamos para 50\\ \mathrm{mm}.
  • Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).
Força aí — você já tem a conta feita e pode aplicar o mesmo procedimento para outros problemas trocando os números. Lembre-se: sempre monte a rede de resistências e trabalhe por unidade de área para deixar a vida mais fácil na prova.

Resposta

50 mm (D)

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