Uma tubulação de aço carbono ( \mathrm{k}=46,2 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ), com diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 90 mm , é isolada termicamente com uma camada de lã de rocha ( \mathrm{k}=0,04 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ) com espessura de 25 mm . A tubulação transporta um fluido a 150^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes convectivos de transferência de calor envolvidos são: superfície interna do tubo, \mathrm{h}=210,6 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, superficie externa do isolante térmico, \mathrm{h}=6,2 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}. Calcule a taxa de calor perdido por metro de tubulação isolada.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de calor perdida por metro de tubulação isolada. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\;k_{\text{tubo}} = 46{,}2\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}
\;k_{\text{isol}} = 0{,}04\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}
Diâmetros: \;D_{\text{int}} = 80\\ \mathrm{mm} = 0{,}080\\ \mathrm{m} e \;D_{\text{ext,tubo}} = 90\\ \mathrm{mm} = 0{,}090\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
Espessura do isolante: \;t_{\text{isol}} = 25\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m} (do enunciado).
Temperaturas: \;T_{\text{fluido}} = 150^\circ\mathrm{C}, \;T_{\infty} = 25^\circ\mathrm{C} (do enunciado).
Coeficientes de convecção: \;h_{i} = 210{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} (superfície interna do tubo) e \;h_{o} = 6{,}2\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} (superfície externa do isolante) (do enunciado).
Raio interno do tubo (metade do diâmetro interno):
r_i = \frac{D_{\text{int}}}{2} = \frac{0{,}080}{2} = 0{,}040\\ \mathrm{m}.
Raio externo do tubo:
r_2 = \frac{D_{\text{ext,tubo}}}{2} = \frac{0{,}090}{2} = 0{,}045\\ \mathrm{m}.
Raio externo do isolante (raio do contato com o ar):
r_3 = r_2 + t_{\text{isol}} = 0{,}045 + 0{,}025 = 0{,}070\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura útil é
\Delta T = T_{\text{fluido}} - T_{\infty} = 150 - 25 = 125\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicando direitinho):
Quando o calor flui radialmente de um fluido dentro de um tubo até o ar ambiente com camada de isolamento, as resistências térmicas aparecem em série: convecção interna → condução pelo tubo → condução pelo isolante → convecção externa. A taxa de calor por unidade de comprimento (por metro) é dada por
q' = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências por metro.
Fórmulas das resistências por metro (todas para comprimento L=1\\ \mathrm{m}):
  • Resistência por convecção numa superfície cilíndrica:
R_{\text{conv}} = \frac{1}{h\,A} = \frac{1}{h\,(2\pi r L)} \quad\text{(para }L=1\text{, }A=2\pi r\text{)}.
Aqui h é o coeficiente de convecção e r o raio da superfície onde ocorre a convecção.
  • Resistência por condução radial em um cilindro (casca cilíndrica) entre raios r_a e r_b:
R_{\text{cond}} = \frac{\ln(r_b/r_a)}{2\pi k L} \quad\text{(para }L=1\text{)}.
Aqui k é a condutividade térmica do material.
Aplicando ao nosso caso teremos, por metro:
R_{\text{total}} = R_{\text{conv},i} + R_{\text{cond,tubo}} + R_{\text{cond,isol}} + R_{\text{conv},o}.
Explico as variáveis:
  • R_{\text{conv},i} usa h_i e r_i.
  • R_{\text{cond,tubo}} usa k_{\text{tubo}}, raios r_i e r_2.
  • R_{\text{cond,isol}} usa k_{\text{isol}}, raios r_2 e r_3.
  • R_{\text{conv},o} usa h_o e r_3.

Passo 3

Cálculo de cada resistência — farei as contas passo a passo e explico os números.
  1. Resistência convectiva interna:
R_{\text{conv},i} = \frac{1}{h_i\,(2\pi r_i)}.
Substituindo (h_i=210{,}6,\\ r_i=0{,}040):
2\pi r_i = 2\pi(0{,}040) \approx 6{,}283185307\cdot 0{,}040 = 0{,}251327412\\ \mathrm{m}.
R_{\text{conv},i} = \frac{1}{210{,}6 \times 0{,}251327412} \approx \frac{1}{52{,}927992} \approx 0{,}018893\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
  1. Resistência de condução pelo tubo (aço):
R_{\text{cond,tubo}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{tubo}}}.
Calculemos \ln(r_2/r_i) com r_2=0{,}045,\\ r_i=0{,}040:
\ln\!\left(\frac{0{,}045}{0{,}040}\right)=\ln(1{,}125)\approx 0{,}117783036.
Denominador:
2\pi k_{\text{tubo}} = 2\pi \times 46{,}2 \approx 6{,}283185307\times 46{,}2 \approx 290{,}283161.
Logo
R_{\text{cond,tubo}} \approx \frac{0{,}117783036}{290{,}283161} \approx 0{,}0004057\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Observação rápida: essa resistência é muito pequena porque o aço conduz muito bem calor.
  1. Resistência de condução pelo isolante (lã de rocha):
R_{\text{cond,isol}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_{\text{isol}}}.
Com r_3=0{,}070,\\ r_2=0{,}045:
\ln\!\left(\frac{0{,}070}{0{,}045}\right)=\ln(1{,}555\overline{5})\approx 0{,}441832753.
Denominador:
2\pi k_{\text{isol}} = 2\pi \times 0{,}04 \approx 6{,}283185307\times 0{,}04 = 0{,}251327412.
Então
R_{\text{cond,isol}} \approx \frac{0{,}441832753}{0{,}251327412} \approx 1{,}7587\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Essa é a resistência dominante, pois o isolante tem k pequeno.
  1. Resistência convectiva externa (na superfície externa do isolante):
R_{\text{conv},o} = \frac{1}{h_o\,(2\pi r_3)}.
Com h_o=6{,}2,\\ r_3=0{,}070:
2\pi r_3 = 6{,}283185307\times 0{,}070 \approx 0{,}439822971.
h_o(2\pi r_3) \approx 6{,}2 \times 0{,}439822971 \approx 2{,}72706142,
R_{\text{conv},o} \approx \frac{1}{2{,}72706142} \approx 0{,}3667\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo da taxa de calor por metro:
Somando:
R_{\text{total}} = 0{,}018893 + 0{,}0004057 + 1{,}7587 + 0{,}3667 \approx 2{,}1447\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Taxa de calor por metro:
q' = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} = \frac{125}{2{,}1447} \approx 58{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-1}}.
Breve comentário de aprendizado: dá para ver que a maior resistência é a do isolante ( R_{\text{cond,isol}}), por isso pequenas variações na espessura ou na condutividade do isolante alteram bastante a perda. A resistência do tubo é desprezível frente à do isolante e à convecção externa.

Resposta

58{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-1}}

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