( ) 59. Quais as condições necessárias para se obter a Equação de Laplace a partir da Equação da Difusão de Calor?
Passo 1
O enunciado pede para ver sob quais hipóteses a Equação da Difusão de Calor se reduz à Equação de Laplace. O conteúdo envolve PDEs de condução de calor e as simplificações necessárias (regime permanente, ausência de geradores, condutividade constante).
Passo 2
Começamos pela forma geral da Equação da Difusão de Calor em um meio contínuo isotrópico:
em que
é a densidade,
é o calor específico,
é a condutividade térmica e
é a taxa de geração interna de calor por unidade de volume.
Passo 3
Dividindo por
e definindo
, obtemos a forma
Passo 4
Impor regime permanente significa eliminar a dependência temporal:
Passo 5
Excluir fontes internas de calor corresponde a
Passo 6
Além disso, para poder levar
a
aprendemos que
deve ser constante (meio homogêneo e isotrópico). Com
,
e
, a equação fica
que é a Equação de Laplace.
Resposta
Para que a Equação de Laplace (
) seja obtida a partir da Equação da Difusão de Calor, é preciso:
- regime permanente (
); - ausência de geração interna de calor (
); - condutividade térmica constante (meio homogêneo e isotrópico).