( ) 59. Quais as condições necessárias para se obter a Equação de Laplace a partir da Equação da Difusão de Calor?

Passo 1

O enunciado pede para ver sob quais hipóteses a Equação da Difusão de Calor se reduz à Equação de Laplace. O conteúdo envolve PDEs de condução de calor e as simplificações necessárias (regime permanente, ausência de geradores, condutividade constante).

Passo 2

Começamos pela forma geral da Equação da Difusão de Calor em um meio contínuo isotrópico:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} \;=\;\nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr)\;+\;Q,
em que
\rho é a densidade,
c é o calor específico,
k é a condutividade térmica e
Q é a taxa de geração interna de calor por unidade de volume.

Passo 3

Dividindo por \rho c e definindo \alpha = k/(\rho c), obtemos a forma
\frac{\partial T}{\partial t} \;=\;\alpha\,\nabla^2 T \;+\;\frac{Q}{\rho c}.

Passo 4

Impor regime permanente significa eliminar a dependência temporal:
\frac{\partial T}{\partial t} = 0.

Passo 5

Excluir fontes internas de calor corresponde a
Q = 0.

Passo 6

Além disso, para poder levar \nabla\cdot(k\nabla T) a k\nabla^2T aprendemos que k deve ser constante (meio homogêneo e isotrópico). Com \partial T/\partial t=0, Q=0 e k=\text{constante}, a equação fica
0 = \alpha\,\nabla^2 T \;\;\Longrightarrow\;\; \nabla^2 T = 0,
que é a Equação de Laplace.

Resposta

Para que a Equação de Laplace ( \nabla^2 T=0) seja obtida a partir da Equação da Difusão de Calor, é preciso:
  • regime permanente ( \partial T/\partial t = 0);
  • ausência de geração interna de calor ( Q=0);
  • condutividade térmica constante (meio homogêneo e isotrópico).

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