( ) 58. Água (líquida) e Mercúrio (Líquido) estão inicialmente numa mesma temperatura, maior que a temperatura do ambiente local. Ambos estão em recipientes idênticos que são colocados sobre uma mesa, em repouso. Depois de alguns minutos percebe-se que um dos materiais está mais quente que o outro. Qual dos dois materiais foi encontrado com um maior conteúdo energético armazenado?

Passo 1

O enunciado diz que temos água e mercúrio, inicialmente à mesma temperatura T_0 acima da temperatura ambiente T_\infty. Ambos esfriam em recipientes idênticos sobre a mesa e, após algum tempo t, um deles está com temperatura maior que o outro. Queremos saber qual dos dois armazena mais energia térmica nesse instante.

Passo 2

Para modelar o resfriamento usamos a Lei de Newton do Resfriamento, que afirma
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{m\,c}\bigl(T(t)-T_\infty\bigr),
onde h é o coeficiente de convecção, A a área de troca, m a massa e c o calor específico do material. A solução mostra que T(t)-T_\infty decai exponencialmente com constante de tempo
\tau = \frac{m\,c}{h\,A}.
Quanto maior \tau, mais lentamente o material esfria e, portanto, mais calor ele retém em dado tempo.

Passo 3

Como os recipientes são idênticos, supomos que o volume V de líquido em cada um é o mesmo. A massa é m=\rho V, de modo que
\tau = \frac{\rho\,V\,c}{h\,A}\propto \rho\,c.
Comparando água e mercúrio:
\rho_{\rm água}\approx 1{,}0\;\text{g/cm}^3,\quad c_{\rm água}\approx 1{,}0\;\text{cal/(g}\,^\circ\text{C)},áá
\rho_{\rm Hg}\approx 13{,}6\;\text{g/cm}^3,\quad c_{\rm Hg}\approx 0{,}14\;\text{cal/(g}\,^\circ\text{C)}.
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(\rho c)_{\rm água}\approx 1{,}0,\quad (\rho c)_{\rm Hg}\approx 13{,}6\times0{,}14\approx1{,}9.á

Passo 4

Como (\rho c)_{\rm Hg}>(\rho c)_{\rm água}á, o mercúrio tem maior constante de tempo \tau e esfria mais lentamente. Assim, após o mesmo intervalo t, o mercúrio estará mais quente e também terá perdido menos energia. A energia térmica armazenada num líquido é
Q = m\,c\,(T- T_\infty),
portanto o líquido que permanecer mais quente (no caso, o mercúrio) retém mais energia.

Resposta

Mercúrio.

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