2.59 Um eixo cilíndrico de
é fixado em um tubo cilíndrico de comprimento igual a
e diâmetro interno de
. O eixo gira sobre um eixo vertical dentro do cilindro. O espaço entre o tubo e o eixo está preenchido por um óleo com viscosidade dinâmica igual a
poise. Se o eixo cilíndrico gira a uma velocidade de
, calcule a potência requerida para vencer a resistência viscosa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Diâmetro do eixo (cilindro interno):
. - Diâmetro interno do tubo (cilindro externo):
. - Comprimento do tubo (altura da região preenchida pelo óleo):
. - Viscosidade dinâmica do óleo:
. - Velocidade de rotação do eixo:
.
O enunciado pede: calcular a potência requerida para vencer a resistência viscosa (potência perdida por atrito entre o eixo que gira e o tubo, através do óleo).
Passo 2
Conversões de unidades e definições de grandezas que usaremos (tudo tirado dos dados acima).
- Converter diâmetros em raios e para metros:
- Comprimento:
- Viscosidade:
, logo - Converter rotação para velocidade angular:
Passo 3
Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando um cilindro interno gira dentro de outro cilindro concêntrico cheio de fluido newtoniano, o escoamento estacionário angular (somente componente tangencial) satisfaz a equação de equilíbrio viscosa que leva a uma solução do tipo
onde
é a velocidade tangencial do fluido em distância radial
, e
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno:
A tensão de cisalhamento relevante em coordenadas cilíndricas é
O torque resistivo por unidade de comprimento, calculado na superfície do cilindro interno, é dado por
Ao resolver explicitamente as equações para
e
e avaliar
obtém-se (este é um resultado padrão para escoamento de Couette entre cilindros concêntricos)
Substituindo
vem
O torque total vale
e a potência dissipada pela viscosidade é
Breve comentário didático: a forma
surge porque, em regime permanente e sem dependência axial nem radial do campo de pressão, a equação diferencial linear para a componente tangencial tem essa solução; as constantes são fixadas pelas velocidades nos dois cilindros. A expressão final mostra que a potência cresce com
, com
, e com
; também depende fortemente da geometria via
e
.
Passo 4
Aplicar a fórmula aos valores numéricos. Primeiro calculo algumas quantidades intermediárias úteis.
- Quadrados dos raios:
- Produto:
- Diferença:
- Razão geométrica que aparece na fórmula:
Passo 5
Calcular a potência usando
Substituindo os números (usar
,
,
e a razão geométrica calculada):
- Primeiro calcule
: - Agora calcule o fator multiplicativo:
- Finalmente
Passo 6
Interpretação e arredondamento: a potência exigida para vencer a resistência viscosa é da ordem de algumas dezenas de watts. Considerando o nível de precisão dos dados dados (três algarismos significativos em velocidade e viscosidade), é razoável apresentar o resultado com duas casas significativas.