2.59 Um eixo cilíndrico de \mathbf{1 0 0 ~ m m} é fixado em um tubo cilíndrico de comprimento igual a \mathbf{5 5 ~ c m} e diâmetro interno de \mathbf{1 1 0 ~ m m}. O eixo gira sobre um eixo vertical dentro do cilindro. O espaço entre o tubo e o eixo está preenchido por um óleo com viscosidade dinâmica igual a \mathbf{3 , 0} poise. Se o eixo cilíndrico gira a uma velocidade de \mathbf{2 9 0 ~ r p m}, calcule a potência requerida para vencer a resistência viscosa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Diâmetro do eixo (cilindro interno): 100\\ \text{mm}.
  • Diâmetro interno do tubo (cilindro externo): 110\\ \text{mm}.
  • Comprimento do tubo (altura da região preenchida pelo óleo): 55\\ \text{cm}.
  • Viscosidade dinâmica do óleo: 3{,}0\\ \text{poise}.
  • Velocidade de rotação do eixo: 290\\ \text{rpm}.
O enunciado pede: calcular a potência requerida para vencer a resistência viscosa (potência perdida por atrito entre o eixo que gira e o tubo, através do óleo).

Passo 2

Conversões de unidades e definições de grandezas que usaremos (tudo tirado dos dados acima).
  • Converter diâmetros em raios e para metros: r_i=\frac{100\\ \text{mm}}{2}=50\\ \text{mm}=0{,}050\\ \text{m}, \qquad r_o=\frac{110\\ \text{mm}}{2}=55\\ \text{mm}=0{,}055\\ \text{m}.
  • Comprimento: L=55\\ \text{cm}=0{,}55\\ \text{m}.
  • Viscosidade: 1\\ \text{poise}=0{,}1\\ \text{Pa}\cdot\text{s}, logo \mu=3{,}0\\ \text{poise}=3{,}0\times0{,}1=0{,}30\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Converter rotação para velocidade angular: \omega=2\pi\left(\frac{290}{60}\right)=\frac{290}{30}\pi=\frac{29}{3}\pi\\ \text{rad/s}\approx30{,}3813\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando um cilindro interno gira dentro de outro cilindro concêntrico cheio de fluido newtoniano, o escoamento estacionário angular (somente componente tangencial) satisfaz a equação de equilíbrio viscosa que leva a uma solução do tipo
v_\theta(r)=A\,r+\frac{B}{r},
onde v_\theta(r) é a velocidade tangencial do fluido em distância radial r, e A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno:
v_\theta(r_i)=\omega r_i,\qquad v_\theta(r_o)=0.
A tensão de cisalhamento relevante em coordenadas cilíndricas é
\tau_{r\theta}=\mu\left(\frac{dv_\theta}{dr}-\frac{v_\theta}{r}\right).
O torque resistivo por unidade de comprimento, calculado na superfície do cilindro interno, é dado por
T'=\tau_{r\theta}(r_i)\cdot(2\pi r_i^2).
Ao resolver explicitamente as equações para A e B e avaliar T' obtém-se (este é um resultado padrão para escoamento de Couette entre cilindros concêntricos)
T' = 4\pi\mu\,B, \qquad\text{com}\qquad B=\frac{\omega\,r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2}.
Substituindo B vem
T' = 4\pi\mu\,\frac{\omega\,r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2}.
O torque total vale T=T'\,L e a potência dissipada pela viscosidade é
P = T\,\omega = 4\pi\mu\,\frac{\omega^2\,L\,r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2}.
Breve comentário didático: a forma v_\theta(r)=A r + B/r surge porque, em regime permanente e sem dependência axial nem radial do campo de pressão, a equação diferencial linear para a componente tangencial tem essa solução; as constantes são fixadas pelas velocidades nos dois cilindros. A expressão final mostra que a potência cresce com \mu, com L, e com \omega^2; também depende fortemente da geometria via r_i e r_o.

Passo 4

Aplicar a fórmula aos valores numéricos. Primeiro calculo algumas quantidades intermediárias úteis.
  • Quadrados dos raios: r_i^2=(0{,}050)^2=0{,}0025\\ \text{m}^2,\qquad r_o^2=(0{,}055)^2=0{,}003025\\ \text{m}^2.
  • Produto: r_i^2 r_o^2 = 0{,}0025\times0{,}003025 = 7{,}5625\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
  • Diferença: r_o^2-r_i^2 = 0{,}003025-0{,}0025 = 0{,}000525\\ \text{m}^2.
  • Razão geométrica que aparece na fórmula: \frac{r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2} = \frac{7{,}5625\times10^{-6}}{5{,}25\times10^{-4}} \approx 0{,}014403.

Passo 5

Calcular a potência usando
P = 4\pi\mu\,\frac{\omega^2\,L\,r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2}.
Substituindo os números (usar \mu=0{,}30\\ \text{Pa}\cdot\text{s}, \omega\approx30{,}3813\\ \text{rad/s}, L=0{,}55\\ \text{m} e a razão geométrica calculada):
  • Primeiro calcule \omega^2: \omega^2\approx(30{,}3813)^2\approx923{,}03\\ \text{rad}^2/\text{s}^2.
  • Agora calcule o fator multiplicativo: 4\pi\mu L \frac{r_i^2 r_o^2}{r_o^2-r_i^2} \approx 4\pi\times0{,}30\times0{,}55\times0{,}014403 \approx0{,}029855.
  • Finalmente P \approx 0{,}029855\times923{,}03 \approx27{,}55\\ \text{W}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: a potência exigida para vencer a resistência viscosa é da ordem de algumas dezenas de watts. Considerando o nível de precisão dos dados dados (três algarismos significativos em velocidade e viscosidade), é razoável apresentar o resultado com duas casas significativas.

Resposta

27{,}6\\ \text{W}

Exercícios relacionados