2.15 Estime a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma gota de água a \mathbf{2 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} quando a gota tem um diâmetro de \mathbf{0 , 0 6 ~ c m}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma gota de água a 20^\circ\text{C} quando a gota tem diâmetro 0,06\\ \text{cm}.
Dados fornecidos e adotados:
  • Diâmetro da gota: d=0,06\\ \text{cm}.
  • Temperatura: 20^\circ\text{C} (serve para escolher o valor da tensão superficial).
  • Tensão superficial da água a 20^\circ\text{C} (valor tabelado, adotado aqui): \gamma=0,0728\\ \text{N/m}.
  • Objetivo: calcular \Delta p = p_{\text{interno}}-p_{\text{externo}}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A tensão superficial \gamma é a energia por unidade de área da superfície líquida, ou, de forma prática, a “força por unidade de comprimento” que age na superfície. Suas unidades no SI são \text{N/m}.
A relação entre a diferença de pressão através de uma superfície curva e a tensão superficial é dada pela lei de Young–Laplace. Para uma superfície esférica a lei diz:
\Delta p=\frac{2\gamma}{R},
onde:
  • \Delta p é a diferença de pressão entre o interior e o exterior da gota ( \Delta p=p_{\text{int}}-p_{\text{ext}}),
  • \gamma é a tensão superficial (em \text{N/m}),
  • R é o raio da gota (em \text{m}).
Explicação rápida do porquê: a superfície curva gera uma pressão adicional proporcional à curvatura; numa esfera a curvatura é 2/R, daí o fator 2.

Passo 3

Converter o diâmetro para raio e para unidades do SI:
O diâmetro dado é d=0,06\\ \text{cm}.
Converter centímetros para metros: 1\\ \text{cm}=0,01\\ \text{m}. Então
d = 0,06\\ \text{cm} = 0,06\times0,01\\ \text{m} = 0,0006\\ \text{m}.
O raio é metade do diâmetro:
R=\frac{d}{2}=\frac{0,0006}{2}=0,0003\\ \text{m}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Young–Laplace substituindo os valores:
\Delta p=\frac{2\gamma}{R}.
Substituindo \gamma=0,0728\\ \text{N/m} e R=0,0003\\ \text{m}:
\Delta p=\frac{2\cdot0,0728}{0,0003}.

Passo 5

Calcular numericamente passo a passo:
Primeiro o numerador:
2\cdot0,0728=0,1456\\ \text{N/m}.
Agora dividir por R:
\Delta p=\frac{0,1456}{0,0003}=485,333\ldots\\ \text{N/m}^2.
Como 1\\ \text{N/m}^2=1\\ \text{Pa}, isso dá
\Delta p\approx4,85\times10^{2}\\ \text{Pa}.
Unidade e interpretação: a unidade resultante é Pascal ( \text{Pa}), que é a unidade de pressão. O sinal positivo indica que a pressão interna da gota é maior que a externa por esse valor.

Passo 6

Resumo físico e comentário prático (um empurrãozinho para a prova):
  • A diferença de pressão dentro da gota é relativamente pequena em comparação com a pressão atmosférica ( \approx1,01\times10^{5}\\ \text{Pa}); aqui \Delta p é cerca de 0,48\% da atmosfera.
  • Em problemas de prova, lembre que para gotas pequenas a pressão extra cresce quando o raio diminui (proporção inversa 1/R), por isso gotas muito pequenas têm pressões internas significativamente maiores.

Resposta

\Delta p\approx4,85\times10^{2}\\ \text{Pa}

Exercícios relacionados