2.42 Fluidos com viscosidades
e
estão contidos entre duas placas (cada placa tem área de
). As espessuras são h1
e h2 = 0,8 mm, respectivamente. Determine a força F para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de
. Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos?
P2.42
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
- Determinar a força
necessária para que a placa superior se mova com velocidade . - Determinar a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
- Viscosidades:
e . - Espessuras das camadas:
e . - Área de cada placa:
. - Velocidade da placa superior:
. - Pressuposição padrão: a placa inferior está estacionária (velocidade zero) e o escoamento é estacionário, unidimensional (perfil de velocidade só varia na direção normal às placas) e os fluidos são newtonianos.
Passo 2
Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Para um fluido newtoniano em escoamento entre placas paralelas (escolha típica de prova: escoamento tipo Couette), a tensão de cisalhamento
é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal às placas. A fórmula é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (em ou Pa), -
é a viscosidade do fluido (em ), -
é a componente de velocidade paralela às placas que depende da coordenada normal , -
é o gradiente de velocidade. -
Em regime estacionário e sem variação ao longo das placas, a tensão de cisalhamento é a mesma em todas as camadas (equilíbrio de cisalhamento). Assim, a mesma
atua em ambas as camadas fluídicas. -
Nas camadas cada perfil é linear (pois
é constante), então os gradientes podem ser substituídos por diferenças de velocidade divididas pela espessura: para a camada 1 , onde é a velocidade na interface; para a camada 2 . -
A força total que é exigida na placa superior é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área:
.
Passo 3
Escrever as equações para as duas camadas e impor continuidade da tensão no interface.
- Tensão na camada 1 (entre placa superior e interface):
- Tensão na camada 2 (entre interface e placa inferior estacionária):
- Como
é a mesma nas duas expressões, igualamos:
Agora isolamos
. Reescrevendo:
Passando os termos de
para o mesmo lado:
Logo
Passo 4
Substituir os valores numéricos passo a passo (lembrando de converter mm em metros).
- Conversões:
- Calcular os termos
e :
- Somando:
- Agora
:
Calcule a fração:
portanto
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento
e a força
.
- Use
(poderia usar também; dará o mesmo resultado).
- Força sobre a placa (área
):
Arredondando:
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: a ideia-chave é tratar as duas camadas como “resistências viscosas em série”. O gradiente de velocidade em cada camada é proporcional à tensão e inversamente proporcional à viscosidade/espessura; ao impor continuidade de tensão resolve-se para a velocidade da interface. Na prova, escreva sempre as igualdades de
em cada camada e isole
— é curto e seguro.