2.42 Fluidos com viscosidades \boldsymbol{\mu} \mathbf{1} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 2 ~ N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m} 2 e \boldsymbol{\mu} 2 \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 2 5 ~ N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m} 2 estão contidos entre duas placas (cada placa tem área de \mathbf{2 ~ m 2} ). As espessuras são h1 =\mathbf{1 , 0 ~ m m} e h2 = 0,8 mm, respectivamente. Determine a força F para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de \mathbf{2 ~ m} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos?
P2.42

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
  • Determinar a força F necessária para que a placa superior se mova com velocidade 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Determinar a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Viscosidades: \mu_1 = 0,2\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} e \mu_2 = 0,25\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • Espessuras das camadas: h_1 = 1{,}0\\ \mathrm{mm} e h_2 = 0,8\\ \mathrm{mm}.
  • Área de cada placa: A = 2\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade da placa superior: U = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressuposição padrão: a placa inferior está estacionária (velocidade zero) e o escoamento é estacionário, unidimensional (perfil de velocidade só varia na direção normal às placas) e os fluidos são newtonianos.

Passo 2

Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para um fluido newtoniano em escoamento entre placas paralelas (escolha típica de prova: escoamento tipo Couette), a tensão de cisalhamento \tau é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal às placas. A fórmula é
\tau = \mu\,\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}} ou Pa),
  • \mu é a viscosidade do fluido (em \mathrm{N\cdot s/m^{2}}),
  • u(y) é a componente de velocidade paralela às placas que depende da coordenada normal y,
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade.
  • Em regime estacionário e sem variação ao longo das placas, a tensão de cisalhamento é a mesma em todas as camadas (equilíbrio de cisalhamento). Assim, a mesma \tau atua em ambas as camadas fluídicas.
  • Nas camadas cada perfil é linear (pois \tau é constante), então os gradientes podem ser substituídos por diferenças de velocidade divididas pela espessura: para a camada 1 \dfrac{du}{dy}\approx \dfrac{U-u_i}{h_1}, onde u_i é a velocidade na interface; para a camada 2 \dfrac{du}{dy}\approx \dfrac{u_i-0}{h_2}.
  • A força total que é exigida na placa superior é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área: F = \tau\,A.

Passo 3

Escrever as equações para as duas camadas e impor continuidade da tensão no interface.
  • Tensão na camada 1 (entre placa superior e interface):
\tau = \mu_1\,\frac{U - u_i}{h_1}.
  • Tensão na camada 2 (entre interface e placa inferior estacionária):
\tau = \mu_2\,\frac{u_i - 0}{h_2} = \mu_2\,\frac{u_i}{h_2}.
  • Como \tau é a mesma nas duas expressões, igualamos:
\mu_1\,\frac{U - u_i}{h_1} = \mu_2\,\frac{u_i}{h_2}.
Agora isolamos u_i. Reescrevendo:
\mu_1\,\frac{U}{h_1} - \mu_1\,\frac{u_i}{h_1} = \mu_2\,\frac{u_i}{h_2}.
Passando os termos de u_i para o mesmo lado:
\mu_1\,\frac{U}{h_1} = u_i\!\left(\mu_1\,\frac{1}{h_1} + \mu_2\,\frac{1}{h_2}\right).
Logo
u_i = \frac{\mu_1\,\dfrac{U}{h_1}}{\mu_1\,\dfrac{1}{h_1} + \mu_2\,\dfrac{1}{h_2}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos passo a passo (lembrando de converter mm em metros).
  • Conversões:
h_1 = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad h_2 = 0{,}8\\ \mathrm{mm} = 0{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular os termos \mu_1/h_1 e \mu_2/h_2:
\frac{\mu_1}{h_1} = \frac{0,2}{1{,}0\times10^{-3}} = 200\\ \mathrm{N\cdot s/(m^{3})},
\frac{\mu_2}{h_2} = \frac{0,25}{0{,}8\times10^{-3}} = \frac{0,25}{8\times10^{-4}} = 312{,}5\\ \mathrm{N\cdot s/(m^{3})}.
  • Somando:
\mu_1\frac{1}{h_1} + \mu_2\frac{1}{h_2} = 200 + 312{,}5 = 512{,}5.
  • Agora u_i:
u_i = U\cdot \frac{\mu_1/h_1}{\mu_1/h_1 + \mu_2/h_2} = 2\cdot\frac{200}{512{,}5}.
Calcule a fração:
\frac{200}{512{,}5}\approx 0{,}3902439,
portanto
u_i \approx 2\times 0{,}3902439 = 0{,}7804878\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
u_i \approx 0{,}7805\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento \tau e a força F.
  • Use \tau = \mu_2\,\dfrac{u_i}{h_2} (poderia usar \mu_1 também; dará o mesmo resultado).
\tau = 0,25\cdot\frac{0{,}7804878}{0{,}8\times10^{-3}} = 0,25\cdot\frac{0{,}7804878}{8\times10^{-4}} = \frac{0,19512195}{8\times10^{-4}}.
\tau \approx 243{,}9024\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Força sobre a placa (área A=2\\ \mathrm{m^{2}}):
F = \tau\,A = 243{,}9024 \times 2 = 487{,}8048\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
F \approx 487{,}8\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a ideia-chave é tratar as duas camadas como “resistências viscosas em série”. O gradiente de velocidade em cada camada é proporcional à tensão e inversamente proporcional à viscosidade/espessura; ao impor continuidade de tensão resolve-se para a velocidade da interface. Na prova, escreva sempre as igualdades de \tau em cada camada e isole u_i — é curto e seguro.

Resposta

F = 487{,}8\\ \mathrm{N}
u_{\text{interface}} = 0{,}7805\\ \mathrm{m/s}

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