Calcule a integral \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3 \cos \theta} \int_{0}^{3} r \sin \theta d z d r d \theta.
\left(H=9 \mathrm{~m}^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3 \cos \theta} \int_{0}^{3} r \sin \theta \, d z \, d r \, d \theta.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é r \sin \theta.
  • A ordem de integração é dz, depois dr, depois d\theta.
  • Os limites são z de 0 a 3, r de 0 a 3\cos\theta e \theta de 0 a \pi.
  • Precisamos calcular o valor numérico desta integral definida.

Passo 2

Observação sobre a integração em z: a função r \sin \theta não depende de z. Quando uma função integranda não depende de uma das variáveis de integração, a integral nessa variável simplesmente multiplica a função pelo tamanho do intervalo. Em fórmulas:
\int_{a}^{b} f(x)\,dz = f(x)\,(b-a)\quad\text{se \(f\) não depende de \(z\).}ã
Aqui f(r,\theta)=r\sin\theta e o intervalo em z é de 0 a 3, cujo tamanho é 3.

Passo 3

Aplicando a observação anterior, fazemos a integração em z:
\int_{0}^{3} r \sin \theta \, d z = r \sin \theta \cdot 3 = 3 r \sin \theta.
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla em r e \theta:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3 \cos \theta} 3 r \sin \theta \, d r \, d \theta.

Passo 4

Agora integramos em r. Lembrete de cálculo: a primitiva de r em relação a r é \tfrac{1}{2}r^{2}, isto é,
\int r \,dr = \frac{1}{2} r^{2}.
Como 3\sin\theta é constante em relação a r, temos
\int_{0}^{3\cos\theta} 3 r \sin \theta \, d r = 3\sin\theta \int_{0}^{3\cos\theta} r\,dr = 3\sin\theta \cdot \left[\frac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{3\cos\theta}.

Passo 5

Avaliaremos a expressão anterior no limite superior r=3\cos\theta:
3\sin\theta \cdot \frac{1}{2} (3\cos\theta)^{2} = \frac{3}{2}\sin\theta \cdot 9\cos^{2}\theta = \frac{27}{2}\sin\theta\cos^{2}\theta.
Portanto a integral reduz-se a uma integral em \theta:
\int_{0}^{\pi} \frac{27}{2}\sin\theta\cos^{2}\theta \, d\theta.

Passo 6

Para integrar \sin\theta\cos^{2}\theta é conveniente fazer a substituição u=\cos\theta. Explico:
  • Se u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta, ou equivalentemente \sin\theta\,d\theta = -du.
  • Também precisamos mudar os limites: quando \theta=0, u=\cos0=1; quando \theta=\pi, u=\cos\pi=-1.
    Aplicando essa substituição na integral:
\int_{0}^{\pi} \sin\theta\cos^{2}\theta \, d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \cos^{2}\theta \cdot \sin\theta\,d\theta = \int_{u=1}^{u=-1} u^{2} \cdot (-du).

Passo 7

Troca de sinais e limites:
\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du) = \int_{u=-1}^{u=1} u^{2}\,du.
Agora calculamos \int_{-1}^{1} u^{2}\,du. A primitiva de u^{2} é \tfrac{1}{3}u^{3}, logo
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{1}{3}u^{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}(1^{3}-(-1)^{3}) = \frac{1}{3}(1-(-1))=\frac{2}{3}.
Voltando ao fator constante \tfrac{27}{2}, obtemos
\frac{27}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{27}{3} = 9.
Portanto o valor da integral é 9.

Resposta

9\\ \mathrm{m}^{4}

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