Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A ordem de integração é
, depois , depois . - Os limites são
de a , de a e de a . - Precisamos calcular o valor numérico desta integral definida.
Passo 2
Observação sobre a integração em
: a função
não depende de
. Quando uma função integranda não depende de uma das variáveis de integração, a integral nessa variável simplesmente multiplica a função pelo tamanho do intervalo. Em fórmulas:
Aqui
e o intervalo em
é de
a
, cujo tamanho é
.
Passo 3
Aplicando a observação anterior, fazemos a integração em
:
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla em
e
:
Passo 4
Agora integramos em
. Lembrete de cálculo: a primitiva de
em relação a
é
, isto é,
Como
é constante em relação a
, temos
Passo 5
Avaliaremos a expressão anterior no limite superior
:
Portanto a integral reduz-se a uma integral em
:
Passo 6
Para integrar
é conveniente fazer a substituição
. Explico:
- Se
, então , ou equivalentemente . - Também precisamos mudar os limites: quando
, ; quando , .
Aplicando essa substituição na integral:
Passo 7
Troca de sinais e limites:
Agora calculamos
. A primitiva de
é
, logo
Voltando ao fator constante
, obtemos
Portanto o valor da integral é
.