5á QUESTÃO: Qual um tampão \mathrm{HAc} / \mathrm{NaAc} (ácido acético/acetado de sódio) cujas concentrações são Ca=Cs=0,5 mol/ l ? A constante k_{a} do ácido vale 1,75 \times 10^{-5}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Solução tampão formada por ácido acético / acetato de sódio.
    • Concentração do ácido acético: C_a = 0,5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • Concentração do acetato (base conjugada): C_s = 0,5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • Constante de ionização do ácido acético: \mathrm{K_a} = 1,75\times10^{-5}.
  • O que a questão pede:
    • Determinar o tampão pedido — na prática, isto costuma significar calcular o pH da solução tampão com essas concentrações e essa \mathrm{K_a}.

Passo 2

Entendendo o conceito de tampão e a fórmula que vamos usar (aula mastigada e sem pular passos).
  • Um tampão ácido/base conjugada mantém o pH estável porque existe um equilíbrio entre o ácido fraco \mathrm{HA} (aqui o ácido acético, \mathrm{HAc}) e sua base conjugada \mathrm{A^-} (aqui o acetato, \mathrm{Ac^-}). A reação de ionização do ácido fraco é:
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}.
  • A constante de equilíbrio para essa reação é a constante de acidez:
\mathrm{K_a}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]},
onde:
  • [\mathrm{H^+}] é a concentração de íons hidrogênio em mol·L^{-1};
  • [\mathrm{A^-}] é a concentração de base conjugada (acetato) em mol·L^{-1};
  • [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido não dissociado em mol·L^{-1}.
  • Desse equilíbrio pode-se obter a equação de Henderson–Hasselbalch, muito usada para tampões. Tomando logaritmo decimal na expressão da \mathrm{K_a} e reorganizando chega-se (aqui mostrando a derivação resumida, mas com todos os passos essenciais):
\mathrm{K_a}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{H^+}]=\mathrm{K_a}\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A^-}]}.
Aplicando -\log_{10} em ambos os lados e lembrando que \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}] e \mathrm{p}K_a=-\log_{10}\mathrm{K_a}, obtemos:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}\right).
  • Nesta fórmula:
    • \mathrm{pH} é o que queremos calcular;
    • \mathrm{p}K_a é a medida negativa do Ka;
    • [\mathrm{A^-}] e [\mathrm{HA}] são as concentrações da base conjugada e do ácido no equilíbrio (para tampões normalmente aproximamos pelas concentrações iniciais se a dissociação/associação for pequena).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso específico: por que, com concentrações iguais, a conta fica simples.
  • No enunciado as concentrações dadas são iguais: C_s = C_a = 0,5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Para tampões preparados misturando saltos e ácido, é comum aproximar que as concentrações no equilíbrio são praticamente as iniciais (o deslocamento é muito pequeno quando a concentração do tampão é muito maior que 10^{-7}). Assim podemos usar diretamente [\mathrm{A^-}]=[\mathrm{HA}] = 0,5.
  • Substituindo na equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}\right) =\mathrm{p}K_a+\log_{10}(1).
  • Como \log_{10}(1)=0, temos a conclusão geral muito importante e prática:
\text{Se }[\mathrm{A^-}]=[\mathrm{HA}]\quad\Rightarrow\quad \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a.
Ou seja: quando as concentrações da base conjugada e do ácido são iguais, o pH do tampão é igual ao \mathrm{p}K_a do ácido.

Passo 4

Calcular numericamente \mathrm{p}K_a a partir de \mathrm{K_a}=1,75\times10^{-5} — passo a passo do logaritmo para que você possa fazer sem calculadora na prova (ou com uma calculadora básica).
  • Definição:
\mathrm{p}K_a=-\log_{10}\mathrm{K_a}.
  • Substituindo o valor:
\mathrm{p}K_a=-\log_{10}\!\left(1,75\times10^{-5}\right).
  • Usando propriedades do logaritmo:
-\log_{10}\!\left(1,75\times10^{-5}\right) = -\big(\log_{10}1,75 + \log_{10}10^{-5}\big) = -\big(\log_{10}1,75 -5\big)=5-\log_{10}1,75.
  • Aproximação prática da parte \log_{10}1,75: \log_{10}1,75\approx0,2430 (valor que pode ser decorado ou obtido com calculadora). Então:
\mathrm{p}K_a \approx 5 - 0,2430 = 4,757.
  • Arredondando de forma usual para duas casas decimais:
\mathrm{p}K_a \approx 4,76.
  • Pelo passo anterior, isso já é o pH do tampão, porque [\mathrm{A^-}]=[\mathrm{HA}].

Passo 5

Verificação rápida via equilíbrio (confirmação de que a aproximação é válida e que não há surpresa numérica).
  • Se quisermos ser mais “exatos” e resolver pelo equilíbrio sem usar diretamente Henderson–Hasselbalch, definimos x=[\mathrm{H^+}] gerado pela ionização adicional do ácido. Inicialmente [\mathrm{HA}]_0=0,5, [\mathrm{A^-}]_0=0,5. No equilíbrio:
[\mathrm{HA}]=0,5-x,\qquad [\mathrm{A^-}]=0,5+x,\qquad [\mathrm{H^+}]=x.
  • A equação da constante fica:
\mathrm{K_a}=\frac{x(0,5+x)}{0,5-x}.
  • Substituindo \mathrm{K_a}=1,75\times10^{-5} e resolvendo (fazendo a conta quadrática ou usando aproximação x\ll0,5) obtém-se x\approx1,75\times10^{-5}, que dá \mathrm{pH}=-\log_{10}x\approx4,757. Portanto a solução direta confirma o resultado da Henderson–Hasselbalch; não há diferença significativa por causa da alta concentração do tampão em relação a [H^+].

Passo 6

Resumo final e motivação (um empurrãozinho encorajador).
  • Conclusão prática: para um tampão com [\mathrm{HAc}]=[\mathrm{Ac^-}], o pH é igual ao \mathrm{p}K_a do ácido.
  • No exercício temos \mathrm{K_a}=1,75\times10^{-5}, então \mathrm{p}K_a\approx4,76, e portanto o pH do tampão é aproximadamente 4,76.
  • Fica a dica: em provas, reconheça rapidamente situações com concentrações iguais — isso economiza tempo, porque já te dá pH = pKa direto. Força aí — você consegue!

Resposta

\mathrm{pH}\approx4,76

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