12.7
Quais as posições mais prováveis de uma partícula em uma caixa de comprimento
, no estado
?
Quais as posições mais prováveis de uma partícula em uma caixa de comprimento
Passo 1
O enunciado pede: “Quais as posições mais prováveis de uma partícula em uma caixa de comprimento
, no estado
?”
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que vem no enunciado ou é padrão nesse problema):
- A caixa tem comprimento
. - A partícula está no estado quântico estacionário de índice
. - As paredes da caixa são impenetráveis, logo a função de onda se anula nas bordas:
. - O que se pede é as posições
onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima — ou seja, onde a densidade de probabilidade atinge máximos.
Passo 2
Escrever a forma geral da função de onda do estado
(vai aparecer e vamos justificar cada termo).
Para a situação de uma caixa unidimensional com paredes impenetráveis e condições , as funções próprias estacionárias são, para
,
Para a situação de uma caixa unidimensional com paredes impenetráveis e condições
Explicando cada coisa:
-
é a função de onda do estado ; é a densidade de probabilidade. - O argumento
vem das condições de contorno que obrigam a função a ter nós internos e zero nas bordas. - O fator
é o fator de normalização; ele garante que a probabilidade total ao longo da caixa seja .
Passo 3
Derivar (mostrar) rapidamente a normalização para entender o fator
.
A normalização exige
A normalização exige
Usando
e calculando
:
Aqui foi usada a identidade média
(que vale para qualquer inteiro
). Portanto
Isso justifica o fator
na expressão de
.
Passo 4
Escrever a densidade de probabilidade e relacionar máximo de probabilidade com máximos de
.
A densidade de probabilidade é
A densidade de probabilidade é
Para encontrar onde essa densidade é máxima, podemos usar duas idéias equivalentes:
- Observação direta:
para todo . Então atinge o máximo quando , isto é quando com inteiro. - Derivada: seja
. Então
Zerando a derivada obtemos
. Dentre esses pontos, os máximos acontecem quando
, i.e. quando
.
Passo 5
Traduzir a condição de máximo para
e aplicar para
.
A condição leva a
A condição
com
inteiro. Para que
esteja dentro da caixa
escolhemos
, o que dá exatamente
máximos distintos dentro da caixa.
Para
substituímos
:
Passo 6
Listar explicitamente as posições mais prováveis para
e comentar brevemente.
Substituindo cada :
Substituindo cada
-
. -
. -
. -
. -
.
Comentário curto: esses são os cinco picos da densidade de probabilidade
. As posições onde a probabilidade é zero (nós) estão em
com
; note que os máximos ficam exatamente entre esses nós.
Passo 7
Exemplinho curto para fixar (comparação rápida com estados baixos).
- Para
o máximo fica em (apenas um pico central). - Para
os máximos ficam em e (dois picos simétricos).
Ver que parasegue o mesmo padrão: cinco picos igualmente espaçados a partir de até .