12.7
Quais as posições mais prováveis de uma partícula em uma caixa de comprimento L, no estado n=5 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quais as posições mais prováveis de uma partícula em uma caixa de comprimento L, no estado n=5 ?”
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que vem no enunciado ou é padrão nesse problema):
  • A caixa tem comprimento L.
  • A partícula está no estado quântico estacionário de índice n=5.
  • As paredes da caixa são impenetráveis, logo a função de onda se anula nas bordas: \psi(0)=\psi(L)=0.
  • O que se pede é as posições x\in(0,L) onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima — ou seja, onde a densidade de probabilidade |\psi(x)|^{2} atinge máximos.

Passo 2

Escrever a forma geral da função de onda do estado n (vai aparecer e vamos justificar cada termo).
Para a situação de uma caixa unidimensional com paredes impenetráveis e condições \psi(0)=\psi(L)=0, as funções próprias estacionárias são, para n=1,2,3,\dots,
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Explicando cada coisa:
  • \psi_{n}(x) é a função de onda do estado n; |\psi_{n}(x)|^{2} é a densidade de probabilidade.
  • O argumento \dfrac{n\pi x}{L} vem das condições de contorno que obrigam a função a ter n-1 nós internos e zero nas bordas.
  • O fator \sqrt{\dfrac{2}{L}} é o fator de normalização; ele garante que a probabilidade total ao longo da caixa seja 1.

Passo 3

Derivar (mostrar) rapidamente a normalização para entender o fator \sqrt{2/L}.
A normalização exige
\int_{0}^{L} |\psi_{n}(x)|^{2}\,dx = 1.
Usando \psi_{n}(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) e calculando A:
\int_{0}^{L} A^{2}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = A^{2}\cdot \frac{L}{2}=1.
Aqui foi usada a identidade média \displaystyle \int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = \frac{L}{2} (que vale para qualquer inteiro n). Portanto
A^{2}=\frac{2}{L}\quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{L}}.
Isso justifica o fator \sqrt{2/L} na expressão de \psi_{n}(x).

Passo 4

Escrever a densidade de probabilidade e relacionar máximo de probabilidade com máximos de \sin^{2}.
A densidade de probabilidade é
|\psi_{n}(x)|^{2}=\frac{2}{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Para encontrar onde essa densidade é máxima, podemos usar duas idéias equivalentes:
  • Observação direta: \sin^{2}\theta\le 1 para todo \theta. Então \sin^{2}\theta atinge o máximo 1 quando \sin\theta=\pm 1, isto é quando \theta=(2k+1)\dfrac{\pi}{2} com k inteiro.
  • Derivada: seja u=\dfrac{n\pi x}{L}. Então
\frac{d}{dx}\sin^{2}u = \sin(2u)\cdot\frac{du}{dx}.
Zerando a derivada obtemos \sin(2u)=0\Rightarrow 2u=m\pi\Rightarrow u=\dfrac{m\pi}{2}. Dentre esses pontos, os máximos acontecem quando u=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}, i.e. quando \sin^{2}u=1.

Passo 5

Traduzir a condição de máximo para x e aplicar para n=5.
A condição \dfrac{n\pi x}{L}=(2k+1)\dfrac{\pi}{2} leva a
x=\frac{L}{n}\cdot\frac{2k+1}{2}=\frac{L(2k+1)}{2n},
com k inteiro. Para que x esteja dentro da caixa 0<x<L escolhemos k=0,1,\dots,n-1, o que dá exatamente n máximos distintos dentro da caixa.
Para n=5 substituímos n=5:
x=\frac{L(2k+1)}{10},\qquad k=0,1,2,3,4.

Passo 6

Listar explicitamente as posições mais prováveis para n=5 e comentar brevemente.
Substituindo cada k:
  • k=0\Rightarrow x=\dfrac{L}{10}.
  • k=1\Rightarrow x=\dfrac{3L}{10}.
  • k=2\Rightarrow x=\dfrac{5L}{10}=\dfrac{L}{2}.
  • k=3\Rightarrow x=\dfrac{7L}{10}.
  • k=4\Rightarrow x=\dfrac{9L}{10}.
Comentário curto: esses são os cinco picos da densidade de probabilidade |\psi_{5}(x)|^{2}. As posições onde a probabilidade é zero (nós) estão em x=m\frac{L}{5} com m=0,1,2,3,4,5; note que os máximos ficam exatamente entre esses nós.

Passo 7

Exemplinho curto para fixar (comparação rápida com estados baixos).
  • Para n=1 o máximo fica em x=L/2 (apenas um pico central).
  • Para n=2 os máximos ficam em x=L/4 e x=3L/4 (dois picos simétricos).
    Ver que para n=5 segue o mesmo padrão: cinco picos igualmente espaçados a partir de L/10 até 9L/10.

Resposta

\dfrac{L}{10},\\ \dfrac{3L}{10},\\ \dfrac{5L}{10},\\ \dfrac{7L}{10},\\ \dfrac{9L}{10}

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