5.Escreva uma t do segundo grau que admita as raízes \sqrt{2} e 2+\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de segundo grau que tenha como raízes \sqrt{2} e 2+\sqrt{2}. O conteúdo que vamos usar é a construção de um polinômio a partir de suas raízes, isto é, a relação de Vieta.

Passo 2

Para um polinômio de segundo grau com raízes r_1 e r_2, podemos escrever
t(x) = a\,(x - r_1)(x - r_2),
sendo a um coeficiente não nulo. Vamos escolher a=1, r_1=\sqrt{2} e r_2=2+\sqrt{2}. Assim,
t(x) = (x - \sqrt{2})\,(x - 2 - \sqrt{2}).

Passo 3

Para expandir, primeiro calculamos a soma e o produto das raízes:
r_1 + r_2 = \sqrt{2} + (2+\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2},
r_1\,r_2 = \sqrt{2}\,(2+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2 = 2 + 2\sqrt{2}.
Pelo desenvolvimento de (x - r_1)(x - r_2), obtemos
t(x) = x^2 - (r_1+r_2)\,x + r_1\,r_2 = x^2 - (2+2\sqrt{2})\,x + (2+2\sqrt{2}).

Resposta

t(x) = x^2 - (2 + 2\sqrt{2})\,x + (2 + 2\sqrt{2})

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