Resolva em R as seguintes equações sabendo que -2 é uma das raízes:
2 x^{3}+10 x^{2}+12 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação polinomial de terceiro grau, sabendo que -2 é uma das raízes. O conteúdo envolve fatoração de polinômios e uso da propriedade do produto nulo.

Passo 2

Escrevemos a equação e extraímos o fator comum x:
2x^3 + 10x^2 + 12x = 0
x\,(2x^2 + 10x + 12) = 0

Passo 3

Pela propriedade do produto nulo, temos duas possibilidades:
x = 0
ou
2x^2 + 10x + 12 = 0

Passo 4

Para resolver a parte quadrática dividimos por 2 e fatoramos:
2x^2 + 10x + 12 = 2\,(x^2 + 5x + 6) = 0
x^2 + 5x + 6 = 0
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Passo 5

Aplicando novamente o produto nulo em (x+2)(x+3)=0, obtemos
x = -2 \quad\text{ou}\quad x = -3

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são x = 0, x = -2 e x = -3.

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