- (1,5p) Calcule ou mostre que o seguinte limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que não existe o limite
Informações dadas:
está definida em pontos
em que
. O ponto de interesse é a origem
, onde queremos saber o comportamento da função quando
se aproxima de
por quaisquer caminhos.
Passo 2
Explicação didática sobre limite em duas variáveis e método via caminhos:
Para que o limite de uma função de duas variáveis em um ponto exista (e seja finito), o valor de ao aproximar
de
deve tender ao mesmo número independentemente do caminho que eu escolha para me aproximar da origem. Uma maneira prática e comum de testar se o limite não existe é mostrar duas aproximações (dois caminhos) que fornecem resultados diferentes. Se eu encontrar um caminho que dá limite
e outro caminho que dá
(ou um deles diverge para infinito), então o limite, no sentido usual, não existe.
Para que o limite de uma função de duas variáveis em um ponto exista (e seja finito), o valor de
Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples e computar o limite ao longo deles.
Passo 3
Caminho 1 — aproximando pela reta
(eixo
):
Se e
então substituo na expressão:
Se
Portanto, ao aproximar a origem pelo eixo
temos
Isso nos dá um candidato de limite igual a
— mas atenção: ainda não provamos que esse é o limite geral, só que existe um caminho que leva a
.
Passo 4
Escolha de um segundo caminho que mostre comportamento diferente:
Escolho um caminho polinomial que costuma revelar desigualdades de ordens: parametrizo por escolhendo
Escolho um caminho polinomial que costuma revelar desigualdades de ordens: parametrizo por
Essa parametrização faz
quando
. É uma boa escolha porque relaciona potências que aparecem no denominador
:
-
, -
.
Assim os dois termos do denominador têm a mesma ordem em, o que facilita os cálculos.
Passo 5
Calcular o limite ao longo do caminho
:
Substituo na função:
Substituo na função:
desde que
. Agora observo o comportamento quando
(aproximação pela direita em
):
Já para
temos
. Em qualquer caso, ao longo dessa parametrização a função não tende a um número finito quando
; ela diverge (é não limitada).
Passo 6
Comparação dos resultados dos dois caminhos e conclusão:
Pelo Passo 3, ao aproximar pela reta o valor tende a
.
Pelo Passo 5, ao aproximar pela curva o valor diverge (tende a
se
).
Como encontramos dois caminhos com comportamentos incompatíveis (um tende a e outro diverge), o limite total em duas variáveis não pode existir (não há um único valor limite).
Pelo Passo 3, ao aproximar pela reta
Pelo Passo 5, ao aproximar pela curva
Como encontramos dois caminhos com comportamentos incompatíveis (um tende a
Resposta
O limite não existe.