• (1,5p) Calcule ou mostre que o seguinte limite não existe:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{x^{3}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou mostrar que não existe o limite
\lim_{\substack{x\to 0 \\\ y\to 0}} \frac{x y}{x^{3}+y^{2}}.
Informações dadas:
f(x,y)=\frac{x y}{x^{3}+y^{2}}
está definida em pontos (x,y) em que x^{3}+y^{2}\neq 0. O ponto de interesse é a origem (0,0), onde queremos saber o comportamento da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer caminhos.

Passo 2

Explicação didática sobre limite em duas variáveis e método via caminhos:
Para que o limite de uma função de duas variáveis em um ponto exista (e seja finito), o valor de \frac{x y}{x^{3}+y^{2}} ao aproximar (x,y) de (0,0) deve tender ao mesmo número independentemente do caminho que eu escolha para me aproximar da origem. Uma maneira prática e comum de testar se o limite não existe é mostrar duas aproximações (dois caminhos) que fornecem resultados diferentes. Se eu encontrar um caminho que dá limite L_1 e outro caminho que dá L_2\neq L_1 (ou um deles diverge para infinito), então o limite, no sentido usual, não existe.
Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples e computar o limite ao longo deles.

Passo 3

Caminho 1 — aproximando pela reta x=0 (eixo y):
Se x=0 e y\to 0 então substituo na expressão:
\frac{x y}{x^{3}+y^{2}}=\frac{0\cdot y}{0^{3}+y^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar a origem pelo eixo y temos
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,x=0}\frac{x y}{x^{3}+y^{2}}=0.
Isso nos dá um candidato de limite igual a 0 — mas atenção: ainda não provamos que esse é o limite geral, só que existe um caminho que leva a 0.

Passo 4

Escolha de um segundo caminho que mostre comportamento diferente:
Escolho um caminho polinomial que costuma revelar desigualdades de ordens: parametrizo por t escolhendo
x=t^{2},\qquad y=t^{3}.
Essa parametrização faz (x,y)\to(0,0) quando t\to 0. É uma boa escolha porque relaciona potências que aparecem no denominador x^{3}+y^{2}:
  • x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6},
  • y^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
    Assim os dois termos do denominador têm a mesma ordem em t, o que facilita os cálculos.

Passo 5

Calcular o limite ao longo do caminho x=t^{2},\,y=t^{3}:
Substituo na função:
\frac{x y}{x^{3}+y^{2}}=\frac{t^{2}\cdot t^{3}}{t^{6}+t^{6}}=\frac{t^{5}}{2t^{6}}=\frac{1}{2t},
desde que t\neq 0. Agora observo o comportamento quando t\to 0^{+} (aproximação pela direita em t):
\frac{1}{2t}\to +\infty\quad\text{quando }t\to 0^{+}.
Já para t\to 0^{-} temos \frac{1}{2t}\to -\infty. Em qualquer caso, ao longo dessa parametrização a função não tende a um número finito quando t\to 0; ela diverge (é não limitada).

Passo 6

Comparação dos resultados dos dois caminhos e conclusão:
Pelo Passo 3, ao aproximar pela reta x=0 o valor tende a 0.
Pelo Passo 5, ao aproximar pela curva x=t^{2},y=t^{3} o valor diverge (tende a +\infty se t\to 0^{+}).
Como encontramos dois caminhos com comportamentos incompatíveis (um tende a 0 e outro diverge), o limite total em duas variáveis não pode existir (não há um único valor limite).

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados