Calcule
sendo
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde a região
é o retângulo
.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O domínio de integração é o retângulo em que
varia de a e varia de a . - A única pergunta é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Decidindo o método: como o domínio é um retângulo e a integranda é um produto de uma função de
por uma função de
(mais uma constante), podemos usar a regra de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. O Teorema de Fubini, em termos práticos para retângulos, diz que
ou seja, podemos integrar em
primeiro e depois em
, ou vice-versa. Aqui vou integrar em
primeiro porque a integranda separa facilmente em fatores dependentes de
e de
.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada escolhida:
Observação sobre linearidade e fator comum: dentro da integral interna em
, o fator que depende só de
(no caso
) e a constante
podem ser tirados para fora da integral em
. Em termos formais, para uma função
e constante
,
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Agora uso a regra de potência para antiderivadas: para
,
Aplicando com
,
Substituindo de volta,
Portanto a integral interna resultou em
.
Passo 5
Agora integramos em
a expressão obtida:
Novamente uso a regra de potência para antiderivadas com
:
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