Calcule
\iint_{D} 12 x^{2} y^{3} d x d y sendo D=[0,2] X[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} 12 x^{2} y^{3}\,dx\,dy
onde a região D é o retângulo \,D=[0,2]\times[0,1]\,.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,12 x^{2} y^{3}.
  • O domínio de integração é o retângulo em que x varia de 0 a 2 e y varia de 0 a 1.
  • A única pergunta é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Decidindo o método: como o domínio é um retângulo e a integranda é um produto de uma função de x por uma função de y (mais uma constante), podemos usar a regra de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. O Teorema de Fubini, em termos práticos para retângulos, diz que
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx,
ou seja, podemos integrar em x primeiro e depois em y, ou vice-versa. Aqui vou integrar em x primeiro porque a integranda separa facilmente em fatores dependentes de x e de y.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada escolhida:
\iint_{D} 12 x^{2} y^{3}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{2} 12 x^{2} y^{3}\,dx\right)dy.
Observação sobre linearidade e fator comum: dentro da integral interna em x, o fator que depende só de y (no caso y^{3}) e a constante 12 podem ser tirados para fora da integral em x. Em termos formais, para uma função g(y) e constante c,
\int_{0}^{2} c\,g(y)\,h(x)\,dx = c\,g(y)\int_{0}^{2} h(x)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{2} 12 x^{2} y^{3}\,dx = 12 y^{3}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Agora uso a regra de potência para antiderivadas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=2,
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0 = \frac{8}{3}.
Substituindo de volta,
12 y^{3}\cdot \frac{8}{3} = \frac{96}{3} y^{3} = 32 y^{3}.
Portanto a integral interna resultou em 32 y^{3}.

Passo 5

Agora integramos em y a expressão obtida:
\int_{y=0}^{1} 32 y^{3}\,dy.
Novamente uso a regra de potência para antiderivadas com n=3:
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Logo
\int_{0}^{1} 32 y^{3}\,dy = 32\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 32\cdot\frac{1^{4}-0}{4} = 32\cdot\frac{1}{4} = 8.

Resposta

8

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