Calcule
onde B é o conjunto
,
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:\n
- Dados (informação do enunciado): o conjunto
é definido por
- A função a integrar é
. - O pedido: calcular a integral tripla
Passo 2
Escrevendo a integral como integral iterada: como o enunciado deu os limites separados por variáveis, podemos escrever a integral como
Aqui só reorganizamos a notação: a ordem escolhida é
primeiro, depois
e por fim
.
Passo 3
Observação importante (por que isso facilita): a função
não depende de
nem de
; depende apenas de
. Isso significa que, ao integrar em
e em
,
pode ser tratado como constante em relação a essas integrais. Vamos aproveitar isso.
Passo 4
Integração em
: calculamos a integral interna em
, com
fixo:
Expliquei: como a integranda é constante em
, a integral em
é o valor constante vezes o comprimento do intervalo em
(que é
).
Passo 5
Agora integramos em
, ainda com
fixo:
Novamente tratamos
como constante em relação a
; multiplicamos pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 6
Redução a uma integral em uma variável: juntando os resultados dos passos anteriores, a integral tripla reduz-se a uma integral em
:
Passo 7
Como calcular
: aqui usamos a substituição simples (método de mudança de variável). Vamos definir a nova variável
Então derivando, obtemos
Também transformamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 8
Aplicando a substituição na integral:
Agora basta integrar
, que tem antiderivada
.
Passo 9
Cálculo final da integral em
:
Prontinho — nada de cálculo numérico complicado, só manipulação simbólica e uma substituição direta.