Calcule
\iiint_{B} e^{y^{2}} d x d y d z onde B é o conjunto 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y e 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:\n
  • Dados (informação do enunciado): o conjunto B é definido por
0 \le y \le 1,\qquad 0 \le x \le y,\qquad 0 \le z \le 1.
  • A função a integrar é e^{y^{2}}.
  • O pedido: calcular a integral tripla
\iiint_{B} e^{y^{2}}\,dx\,dy\,dz.

Passo 2

Escrevendo a integral como integral iterada: como o enunciado deu os limites separados por variáveis, podemos escrever a integral como
\iiint_{B} e^{y^{2}}\,dx\,dy\,dz=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\int_{z=0}^{1} e^{y^{2}}\,dz\,dx\,dy.
Aqui só reorganizamos a notação: a ordem escolhida é dz primeiro, depois dx e por fim dy.

Passo 3

Observação importante (por que isso facilita): a função e^{y^{2}} não depende de x nem de z; depende apenas de y. Isso significa que, ao integrar em z e em x, e^{y^{2}} pode ser tratado como constante em relação a essas integrais. Vamos aproveitar isso.

Passo 4

Integração em z: calculamos a integral interna em z, com y fixo:
\int_{z=0}^{1} e^{y^{2}}\,dz = e^{y^{2}}\cdot\Big[z\Big]_{0}^{1}=e^{y^{2}}\cdot(1-0)=e^{y^{2}}.
Expliquei: como a integranda é constante em z, a integral em z é o valor constante vezes o comprimento do intervalo em z (que é 1).

Passo 5

Agora integramos em x, ainda com y fixo:
\int_{x=0}^{y} e^{y^{2}}\,dx = e^{y^{2}}\cdot\Big[x\Big]_{0}^{y}=e^{y^{2}}\cdot(y-0)=y\,e^{y^{2}}.
Novamente tratamos e^{y^{2}} como constante em relação a x; multiplicamos pelo comprimento do intervalo em x, que é y.

Passo 6

Redução a uma integral em uma variável: juntando os resultados dos passos anteriores, a integral tripla reduz-se a uma integral em y:
\iiint_{B} e^{y^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{y=0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy.

Passo 7

Como calcular \displaystyle \int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy: aqui usamos a substituição simples (método de mudança de variável). Vamos definir a nova variável
u = y^{2}.
Então derivando, obtemos
du = 2y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy = \frac{1}{2}\,du.
Também transformamos os limites: quando y=0 temos u=0^{2}=0; quando y=1 temos u=1^{2}=1.

Passo 8

Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy = \int_{u=0}^{1} e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
Agora basta integrar e^{u}, que tem antiderivada e^{u}.

Passo 9

Cálculo final da integral em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\Big[e^{u}\Big]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\big(e^{1}-e^{0}\big)=\frac{1}{2}(e-1).
Prontinho — nada de cálculo numérico complicado, só manipulação simbólica e uma substituição direta.

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}

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