(2,5pt). Considere uma chapa na região do plano, no primeiro quadrante, delimitada por C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=9\right\}. Sabendo que nessa região, a densidade \rho(x, y) é proporcional à distância do ponto até a origem e, que \rho(1,0)=\pi, determine a massa total dessa chapa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Região da chapa: pontos (x,y) no primeiro quadrante delimitados pela curva C:\\ x^{2}+y^{2}=9. Ou seja, a chapa é a parte do disco de raio 3 que está no primeiro quadrante.
  • Densidade: \rho(x,y) é proporcional à distância do ponto até a origem. Em notação, existe uma constante k tal que \rho(x,y)=k\cdot (distância do ponto à origem).
  • Informação adicional: \rho(1,0)=\pi.
  • O que é pedido: determinar a massa total da chapa (isto é, a integral da densidade sobre a região).

Passo 2

Traduzir a proporcionalidade em fórmula e encontrar a constante de proporcionalidade.
  • A distância do ponto (x,y) até a origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Assim podemos escrever
\rho(x,y)=k\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Usando o ponto dado (1,0): a distância até a origem é \sqrt{1^{2}+0^{2}}=1, e foi dado \rho(1,0)=\pi. Substituindo,
\pi=\rho(1,0)=k\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad k=\pi.
  • Portanto a densidade em qualquer ponto é
\rho(x,y)=\pi\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Escrever a expressão da massa total como integral dupla.
  • A massa total M é a integral da densidade sobre a região R (a parte do disco de raio 3 no primeiro quadrante):
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA.
  • Substituindo \rho:
M=\iint_{R}\pi\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 4

Escolher coordenadas adequadas e explicar por quê.
  • A região é parte de um disco centrado na origem e a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, portanto coordenadas polares tornam tudo mais simples.
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, onde r\ge0 é a distância até a origem (exatamente o que aparece na densidade) e \theta é o ângulo.
  • O elemento de área transforma como dA=r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação polar; explique mentalmente como um pequeno retângulo em polares tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta).
  • Em polares a densidade fica \rho=\pi r porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.

Passo 5

Determinar os limites de integração e montar a integral em polares.
  • Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de \theta=0 até \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • O raio vai de r=0 até a borda do disco r=3.
  • Substituindo tudo na integral:
M=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3} \pi r \cdot (r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \pi r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo e interpretar.
  • Calcular a integral em r:
\int_{0}^{3} \pi r^{2}\,dr =\pi\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =\pi\cdot\frac{3^{3}}{3} =\pi\cdot\frac{27}{3} =\pi\cdot 9 =9\pi.
  • Agora integrar em \theta:
M=\int_{0}^{\pi/2} 9\pi\,d\theta = 9\pi\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2}=9\pi\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi^{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi^{2}}{2}

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