(2,5pt). Considere uma chapa na região do plano, no primeiro quadrante, delimitada por
. Sabendo que nessa região, a densidade
é proporcional à distância do ponto até a origem e, que
, determine a massa total dessa chapa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Região da chapa: pontos
no primeiro quadrante delimitados pela curva . Ou seja, a chapa é a parte do disco de raio que está no primeiro quadrante. - Densidade:
é proporcional à distância do ponto até a origem. Em notação, existe uma constante tal que (distância do ponto à origem). - Informação adicional:
. - O que é pedido: determinar a massa total da chapa (isto é, a integral da densidade sobre a região).
Passo 2
Traduzir a proporcionalidade em fórmula e encontrar a constante de proporcionalidade.
- A distância do ponto
até a origem é . Assim podemos escrever
- Usando o ponto dado
: a distância até a origem é , e foi dado . Substituindo,
- Portanto a densidade em qualquer ponto é
Passo 3
Escrever a expressão da massa total como integral dupla.
- A massa total
é a integral da densidade sobre a região (a parte do disco de raio no primeiro quadrante):
- Substituindo
:
Passo 4
Escolher coordenadas adequadas e explicar por quê.
- A região é parte de um disco centrado na origem e a densidade depende de
, portanto coordenadas polares tornam tudo mais simples. - Em coordenadas polares usamos
, onde é a distância até a origem (exatamente o que aparece na densidade) e é o ângulo. - O elemento de área transforma como
(isso vem do jacobiano da transformação polar; explique mentalmente como um pequeno retângulo em polares tem área aproximada ). - Em polares a densidade fica
porque .
Passo 5
Determinar os limites de integração e montar a integral em polares.
- Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de
até . - O raio vai de
até a borda do disco . - Substituindo tudo na integral:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo e interpretar.
- Calcular a integral em
:
- Agora integrar em
: