Considere o sólido tridimensional (cilindro) W dado por
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 4,1 \leq z \leq 4\right\} .
(a) Determine seu volume usando intagral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá o sólido tridimensional W definido por
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+y^{2}\le 4,\\\ 1\le z\le 4\right\}.
O que ele pede:
  • (a) Determinar o volume de W usando integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes dadas:
  • A região na direção x,y é um disco de raio 2 (porque x^{2}+y^{2}\le 4 implica r\le 2).
  • A coordenada z varia entre 1 e 4, portanto a “altura” do sólido é 4-1=3.

Passo 2

Explicação sobre coordenadas cilíndricas e por que usá-las (aula rápida).
  • Em coordenadas cilíndricas usamos variáveis (r,\theta,z) ligadas a (x,y,z) por: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,com r\ge 0 e \theta variando tipicamente em [0,2\pi).
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas não é simplesmente dr\,d\theta\,dz: há um fator de escala (Jacobiando) igual a r. Isso vem da mudança de variáveis em integrais múltiplas e representa a “espessura” angular que cresce com r.
  • Portanto, para integrar uma função f(x,y,z) sobre uma região W, a integral tripla em coordenadas cilíndricas é \iiint_{W} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta}\int_{r}\int_{z} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\; r\, dz\, dr\, d\theta.
  • No caso do volume, a função a integrar é f\equiv 1, então o integrando fica apenas r.

Passo 3

Determinar os limites de integração para r,\theta,z a partir da descrição de W.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 4 transforma-se em r^{2}\le 4, isto é 0\le r\le 2.
  • Não há restrição angular além do disco inteiro, então 0\le \theta \le 2\pi.
  • Para z temos diretamente 1\le z\le 4.

Passo 4

Montar a integral tripla para o volume usando os limites encontrados.
  • O volume V é V=\iiint_{W} 1\, dV.
  • Em coordenadas cilíndricas isso vira a integral iterada V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{1}^{4} r\; dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em z.
  • Como r é independente de z, temos \int_{1}^{4} r\; dz = r\bigg[z\bigg]_{z=1}^{z=4} = r(4-1)=3r.

Passo 6

Calcular a integral em r.
  • Substituindo o resultado anterior, \int_{0}^{2} 3r\; dr = 3\int_{0}^{2} r\; dr = 3\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{2} =3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot(2)^{2}=3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 4=6.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e concluir.
  • Agora V=\int_{0}^{2\pi} 6\; d\theta = 6\left[\theta\right]_{0}^{2\pi}=6\cdot 2\pi = 12\pi.
  • (Comentário rápido e motivador: isso bate com a fórmula geométrica simples — área da base \pi\cdot 2^{2}=4\pi vezes altura 3 12\pi — mas aqui fizemos pelo método pedido, em coordenadas cilíndricas.)

Resposta

12\pi

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