Considere o sólido tridimensional (cilindro)
dado por
(a) Determine seu volume usando intagral tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá o sólido tridimensional
definido por
O que ele pede:
- (a) Determinar o volume de
usando integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes dadas:
- A região na direção
é um disco de raio (porque implica ). - A coordenada
varia entre e , portanto a “altura” do sólido é .
Passo 2
Explicação sobre coordenadas cilíndricas e por que usá-las (aula rápida).
- Em coordenadas cilíndricas usamos variáveis
ligadas a por: com e variando tipicamente em . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas não é simplesmente
: há um fator de escala (Jacobiando) igual a . Isso vem da mudança de variáveis em integrais múltiplas e representa a “espessura” angular que cresce com . - Portanto, para integrar uma função
sobre uma região , a integral tripla em coordenadas cilíndricas é - No caso do volume, a função a integrar é
, então o integrando fica apenas .
Passo 3
Determinar os limites de integração para
a partir da descrição de
.
- A condição
transforma-se em , isto é - Não há restrição angular além do disco inteiro, então
- Para
temos diretamente
Passo 4
Montar a integral tripla para o volume usando os limites encontrados.
- O volume
é - Em coordenadas cilíndricas isso vira a integral iterada
Passo 5
Calcular a integral interna em
.
- Como
é independente de , temos
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Substituindo o resultado anterior,
Passo 7
Calcular a integral em
e concluir.
- Agora
- (Comentário rápido e motivador: isso bate com a fórmula geométrica simples — área da base
vezes altura dá — mas aqui fizemos pelo método pedido, em coordenadas cilíndricas.)