Considere o sólido tridimensional (cilindro)
dado por
(b) Determine seu volume usando integral dupla em coordenadas polares. (Sugestão: use uma diferença de volumes).
Passo 1
O enunciado dá o sólido tridimensional
definido por
O que se pede:
- (b) Determinar o volume de
usando integral dupla em coordenadas polares (a sugestão diz: usar uma diferença de volumes).
Informações relevantes dadas:
- A região projetada no plano
é o disco centrado na origem com raio , porque . - A coordenada
varia de até , ou seja, a altura do cilindro é .
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): o volume de
pode ser obtido por uma integral tripla
. Como a região em
é simplesmente um intervalo para cada
do disco, podemos integrar primeiro em
e reduzir para uma integral dupla sobre o disco
. Escrevendo isso:
A integral interna em
é simples:
. Portanto
(Isso já é uma forma de “diferença de volumes”: volume até
menos volume até
.)
Passo 3
Agora vamos transformar a integral dupla sobre o disco
para coordenadas polares. Lembretes fundamentais de coordenadas polares:
- As coordenadas polares são
, onde é a distância ao eixo e é o ângulo no plano . - O elemento de área planar
em coordenadas polares vale . Aqui é o fator jacobiano — intuitivamente é porque pequenos retângulos em têm área aproximadamente . - Para o disco de raio
os limites são e .
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Ou escrevendo de forma clara:
Passo 5
Calcule a integral interna em
. Primeiro integramos em
:
Agora avaliando:
então
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
Verificação alternativa (mais direta, mesma conta): a área do disco
de raio
é
. Multiplicando pela altura
dá
. Isso coincide com o resultado da integral dupla.
Passo 8
Resumo final e dica para a prova: ao ter um cilindro com base circular e altura constante, a forma mais rápida é sempre pensar em área da base vezes altura. Se pedirem usar integrais, transforme a integral tripla em
e passe para polares com
. Lembre-se sempre de escrever os limites corretamente:
vai até o raio do disco e
cobre
a
.