Considere o sólido tridimensional (cilindro) W dado por
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 4,1 \leq z \leq 4\right\} .
(b) Determine seu volume usando integral dupla em coordenadas polares. (Sugestão: use uma diferença de volumes).

Passo 1

O enunciado dá o sólido tridimensional W definido por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^{2}+y^{2}\le 4,\; 1\le z\le 4\}.
O que se pede:
  • (b) Determinar o volume de W usando integral dupla em coordenadas polares (a sugestão diz: usar uma diferença de volumes).
Informações relevantes dadas:
  • A região projetada no plano xy é o disco centrado na origem com raio 2, porque x^{2}+y^{2}\le 4.
  • A coordenada z varia de 1 até 4, ou seja, a altura do cilindro é 4-1=3.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): o volume de W pode ser obtido por uma integral tripla \iiint_{W}dV. Como a região em z é simplesmente um intervalo para cada (x,y) do disco, podemos integrar primeiro em z e reduzir para uma integral dupla sobre o disco D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4\}. Escrevendo isso:
V=\iiint_{W} dV=\iint_{D}\Big(\int_{1}^{4} dz\Big)\,dA.
A integral interna em z é simples: \int_{1}^{4}dz=4-1=3. Portanto
V=\iint_{D} 3\,dA = 3\cdot \text{(área do disco }D).á
(Isso já é uma forma de “diferença de volumes”: volume até z=4 menos volume até z=1.)

Passo 3

Agora vamos transformar a integral dupla sobre o disco D para coordenadas polares. Lembretes fundamentais de coordenadas polares:
  • As coordenadas polares são \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;, onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de área planar dA em coordenadas polares vale dA=r\,dr\,d\theta. Aqui r é o fator jacobiano — intuitivamente é porque pequenos retângulos em r,\theta têm área aproximadamente r\,dr\,d\theta.
  • Para o disco de raio 2 os limites são 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
V=\iint_{D} 3\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} 3\,(r\,dr\,d\theta).
Ou escrevendo de forma clara:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 3r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral interna em r. Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2} 3r\,dr = 3\int_{0}^{2} r\,dr = 3\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2}.
Agora avaliando:
\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2,
então
\int_{0}^{2} 3r\,dr = 3\cdot 2 = 6.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 6\,d\theta = 6\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = 6\cdot 2\pi = 12\pi.

Passo 7

Verificação alternativa (mais direta, mesma conta): a área do disco D de raio 2 é \pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi. Multiplicando pela altura 3 V=3\cdot 4\pi=12\pi. Isso coincide com o resultado da integral dupla.

Passo 8

Resumo final e dica para a prova: ao ter um cilindro com base circular e altura constante, a forma mais rápida é sempre pensar em área da base vezes altura. Se pedirem usar integrais, transforme a integral tripla em \iint_{D}(\int_{z_{1}}^{z_{2}}dz)\,dA e passe para polares com dA=r\,dr\,d\theta. Lembre-se sempre de escrever os limites corretamente: r vai até o raio do disco e \theta cobre 0 a 2\pi.

Resposta

\;12\pi

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