[6] (2.0 ptos) Seja a função
. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície de nível zero
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o plano tangente e a reta normal à superfície de nível zero
no ponto
. Para isso, vamos usar o fato de que o gradiente de
é um vetor normal à superfície de nível. Antes de mais nada, verificamos que
logo
realmente está na superfície.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
, que é
Derivando, obtemos
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
:
Esse vetor é normal à superfície no ponto
.
Passo 4
A equação do plano tangente é dada por
Substituindo o gradiente, fica
ou seja
Passo 5
A reta normal passa por
e tem direção
. Podemos simplificar o vetor-direção para
, obtendo a forma paramétrica
Resposta
Plano tangente:
.
Reta normal:
Reta normal: