[6] (2.0 ptos) Seja a função g(x, y, z)=36(x-1)^2-16(y+1)^2-9 z^2-144. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície de nível zero g(x, y, z)=0 no ponto P=(3,-1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=36(x-1)^2-16(y+1)^2-9z^2-144
e pede o plano tangente e a reta normal à superfície de nível zero
g(x,y,z)=0
no ponto P=(3,-1,0). Para isso, vamos usar o fato de que o gradiente de g é um vetor normal à superfície de nível. Antes de mais nada, verificamos que
g(3,-1,0)=36(2)^2-16(0)^2-9cdot0^2-144=144-144=0,
logo P realmente está na superfície.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de g, que é
nabla g(x,y,z)=l(partial gpartial x,,partial gpartial y,,partial gpartial zr)
Derivando, obtemos
partial gpartial x=72(x-1), partial gpartial y=-32(y+1), partial gpartial z=-18z

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(3,-1,0):
nabla g(3,-1,0)=(72cdot2,,-32cdot0,,-18cdot0)=(144,0,0)
Esse vetor é normal à superfície no ponto P.

Passo 4

A equação do plano tangente é dada por
nabla g(3,-1,0)cdotl((x,y,z)-(3,-1,0)r)=0
Substituindo o gradiente, fica
(144,0,0)cdot(x-3,y+1,z-0)=144,(x-3)=0
ou seja
x=3

Passo 5

A reta normal passa por P e tem direção nabla g(3,-1,0)=(144,0,0). Podemos simplificar o vetor-direção para (1,0,0), obtendo a forma paramétrica
(x,y,z)=(3,-1,0)+t,(1,0,0), tinR

Resposta

Plano tangente: x=3.
Reta normal: (x,y,z)=(3,-1,0)+t,(1,0,0), tinR

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