Calcule grad f então Du f=(grad f) cdot u, então Du f em P :
f(x, y)=y^10, u=(0,-1), P=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=y^10 ao longo do vetor u=(0,-1) no ponto P=(1,-1). Para isso vamos precisar de:
  1. calcular o gradiente nabla f,
  2. verificar que u é unitário,
  3. usar a fórmula
Duf(P) = nabla f(P)cdot u

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=y^10, temos
partial fpartial x(x,y)=0, partial fpartial y(x,y)=10,y^9

Passo 3

Com isso o gradiente é
nabla f(x,y) = l(0,;10,y^9r)

Passo 4

Agora avaliamos em P=(1,-1). Como y=-1 y^9=(-1)^9=-1, obtemos
nabla f(1,-1) = l(0,;10cdot(-1)r) = (0,-10)

Passo 5

O vetor dado é u=(0,-1). Seu comprimento é
|u| = raiz0^2+(-1)^2=1,
então u já é unitário.

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional no ponto P é o produto escalar:
Duf(1,-1) = nabla f(1,-1)cdot u = (0,-10)cdot(0,-1) = 0cdot0 + (-10)cdot(-1) = 10

Resposta

Duf(1,-1)=10

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