Questão 3(2,5) : Encontre a solução geral da EDO de 2 ^a ordem abaixo:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=x ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler–Cauchy de 2ª ordem
x^2y''-x,y'+y = xln(x)
Vamos primeiro resolver a parte homogênea para obter yh e depois encontrar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados adaptados a equações de Euler.

Passo 2

Para a equação homogênea
x^2y''-x,y'+y = 0
assumimos y=x^r. Então
y''=r(r-1)x^r-2, y'=r,x^r-1,
e substituindo obtemos
r(r-1)x^r - r,x^r + x^r = l[r(r-1)-r+1r]x^r = (r-1)^2x^r = 0
A equação característica é
(r-1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1.

Passo 3

Como a raiz r=1 é dupla, a solução geral homogênea é
yh = C1,x^1 + C2,x^1ln(x) = C1 x + C2 xln(x)

Passo 4

O termo não homogêneo é xln(x)=x^1ln(x). Para uma EDO de Euler cujas raízes repetem r=1, multiplicamos por (ln(x))^2 a forma de polinômio em ln(x). Como aparece grau 1 em ln(x), tentamos
yp = xl[A(ln(x))^3 + B(ln(x))^2r]

Passo 5

Escrevendo u(x)=Aln^3(x)+Bln^2(x), temos
yp = x,u, yp' = u + x,u', yp'' = 2u' + x,u''
Calculamos
u' = 3Aln^2(x)+2Bln(x)x, u'' = -3Aln^2(x)+(6A-2B)ln(x)+2Bx^2
Daí segue
yp' = Aln^3(x)+(B+3A)ln^2(x)+2Bln(x),
yp'' = 3Aln^2(x)+(6A+2B)ln(x)+2Bx

Passo 6

Substituindo em x^2y''-xy'+y:
x^2yp'' - x,yp' + yp = xl[3Aln^2(x)+(6A+2B)ln(x)+2Br] - xl[Aln^3(x)+(B+3A)ln^2(x)+2Bln(x)r] + xl[Aln^3(x)+Bln^2(x)r]
Os termos em ln^3 e ln^2 cancelam, sobrando
xl(6Aln(x)+2Br)
Igualando ao lado direito xln(x) exige
6A = 1, 2B = 0 Longrightarrow A=tfrac16,;B=0

Passo 7

Com A=tfrac16, B=0 obtemos
yp = 16,xln^3(x)
Logo a solução geral da EDO é
y(x) = yh + yp = C1 x + C2 xln(x) + 16,xln^3(x)

Resposta

y(x) = C1 x + C2 xln(x) + 16,xln^3(x)

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