Questão
: Encontre a solução geral da EDO de
ordem abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler–Cauchy de 2ª ordem
Vamos primeiro resolver a parte homogênea para obter
e depois encontrar uma solução particular
por coeficientes indeterminados adaptados a equações de Euler.
Passo 2
Para a equação homogênea
assumimos
. Então
e substituindo obtemos
A equação característica é
com raiz dupla
.
Passo 3
Como a raiz
é dupla, a solução geral homogênea é
Passo 4
O termo não homogêneo é
. Para uma EDO de Euler cujas raízes repetem
, multiplicamos por
a forma de polinômio em
. Como aparece grau 1 em
, tentamos
Passo 5
Escrevendo
, temos
Calculamos
Daí segue
Passo 6
Substituindo em
:
Os termos em
e
cancelam, sobrando
Igualando ao lado direito
exige
Passo 7
Com
,
obtemos
Logo a solução geral da EDO é