[6.] Utilizando a idea da solução do exercício anterior e a fórmula da solução da EDO linear geral, escreva a solução geral da equação diferencial de segunda ordem,
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas e o que se pede:
- A equação contém as funções
e definidas em . - O objetivo é escrever a solução geral
em termos de e , com duas constantes arbitrárias (porque é uma EDO de segunda ordem). - Assumo que
e são funções contínuas em (hipótese habitual para garantir existência e unicidade das integrais que aparecerão).
Passo 2
Ideia de método (sem cálculos ainda): a equação não tem termo em
(aparece apenas
e
), então podemos reduzir a ordem definindo
Isso transforma a EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem para
:
Resolver essa EDO de primeira ordem para
e depois integrar
dá
. Vou usar o método do fator integrante para a EDO de primeira ordem (método padrão e econômico aqui).
Passo 3
Resolver a EDO de primeira ordem para
.
A equação é
A equação é
Defina o fator integrante
por
onde
é um ponto fixo arbitrário (escolha de referência). Observações sobre
:
-
para todo . -
por regra da cadeia.
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é derivada do produto
, pois
Portanto
Integramos de
até
:
Isolando
,
Denotando a constante
(constante arbitrária), obtemos a forma conveniente
Passo 4
Voltando a
: lembrando que
, temos
Integrar essa expressão entre
e
dá
em termos de
. Integramos:
Separe as parcelas:
Denotando
(segunda constante arbitrária), obtemos
Passo 5
Interpretando e simplificando:
-
é o fator integrante. -
e são as duas constantes arbitrárias que caracterizam a solução geral (relacionáveis a condições iniciais e ). - A solução escrita com limites em
é conveniente para aplicação prática em problemas com condições iniciais em .
Forma final, compacta, da solução geral:
Dica rápida para a prova: faça a substituição
, resolva a EDO linear
com fator integrante
, obtenha
e integre para achar
. Sempre indique as duas constantes resultantes.
Resposta
onde
é fixo e
são constantes arbitrárias.