[6.] Utilizando a idea da solução do exercício anterior e a fórmula da solução da EDO linear geral, escreva a solução geral da equação diferencial de segunda ordem,
u^{\prime \prime}+p(t) u^{\prime}=f(t) \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
u''+p(t)\,u'=f(t)\quad\text{em}\quad I\subseteq\mathbb{R}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação contém as funções p(t) e f(t) definidas em I.
  • O objetivo é escrever a solução geral u(t) em termos de p e f, com duas constantes arbitrárias (porque é uma EDO de segunda ordem).
  • Assumo que p e f são funções contínuas em I (hipótese habitual para garantir existência e unicidade das integrais que aparecerão).

Passo 2

Ideia de método (sem cálculos ainda): a equação não tem termo em u (aparece apenas u'' e u'), então podemos reduzir a ordem definindo
v(t):=u'(t).
Isso transforma a EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem para v:
v'+p(t)\,v=f(t).
Resolver essa EDO de primeira ordem para v e depois integrar v u. Vou usar o método do fator integrante para a EDO de primeira ordem (método padrão e econômico aqui).

Passo 3

Resolver a EDO de primeira ordem para v.
A equação é
v'(t)+p(t)\,v(t)=f(t).
Defina o fator integrante \mu(t) por
\mu(t):=\exp\!\left(\int_{t_0}^{t} p(s)\,ds\right),
onde t_0\in I é um ponto fixo arbitrário (escolha de referência). Observações sobre \mu:
  • \mu(t)>0 para todo t\in I.
  • \mu'(t)=p(t)\,\mu(t) por regra da cadeia.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\mu(t)\,v'(t)+\mu(t)\,p(t)\,v(t)=\mu(t)\,f(t).
O lado esquerdo é derivada do produto \mu(t)\,v(t), pois
(\mu v)'(t)=\mu'(t)\,v(t)+\mu(t)\,v'(t)=p(t)\mu(t)\,v(t)+\mu(t)\,v'(t).
Portanto
(\mu(t)\,v(t))'=\mu(t)\,f(t).
Integramos de t_0 até t:
\mu(t)\,v(t)-\mu(t_0)\,v(t_0)=\int_{t_0}^{t}\mu(s)\,f(s)\,ds.
Isolando v(t),
v(t)=\frac{\mu(t_0)\,v(t_0)}{\mu(t)}+\frac{1}{\mu(t)}\int_{t_0}^{t}\mu(s)\,f(s)\,ds.
Denotando a constante \displaystyle C_1:=\mu(t_0)\,v(t_0) (constante arbitrária), obtemos a forma conveniente
v(t)=\frac{C_1}{\mu(t)}+\frac{1}{\mu(t)}\int_{t_0}^{t}\mu(s)\,f(s)\,ds.

Passo 4

Voltando a u: lembrando que v=u', temos
u'(t)=\frac{C_1}{\mu(t)}+\frac{1}{\mu(t)}\int_{t_0}^{t}\mu(s)\,f(s)\,ds.
Integrar essa expressão entre t_0 e t u(t) em termos de u(t_0). Integramos:
u(t)-u(t_0)=\int_{t_0}^{t}u'(\tau)\,d\tau =\int_{t_0}^{t}\left[\frac{C_1}{\mu(\tau)}+\frac{1}{\mu(\tau)}\int_{t_0}^{\tau}\mu(s)\,f(s)\,ds\right]d\tau.
Separe as parcelas:
u(t)-u(t_0)=C_1\int_{t_0}^{t}\frac{d\tau}{\mu(\tau)}+\int_{t_0}^{t}\frac{1}{\mu(\tau)}\left(\int_{t_0}^{\tau}\mu(s)\,f(s)\,ds\right)d\tau.
Denotando \displaystyle C_2:=u(t_0) (segunda constante arbitrária), obtemos
u(t)=C_2+C_1\int_{t_0}^{t}\frac{d\tau}{\mu(\tau)}+\int_{t_0}^{t}\frac{1}{\mu(\tau)}\left(\int_{t_0}^{\tau}\mu(s)\,f(s)\,ds\right)d\tau.

Passo 5

Interpretando e simplificando:
  • \mu(t)=\exp\!\left(\int_{t_0}^{t}p(s)\,ds\right) é o fator integrante.
  • C_1 e C_2 são as duas constantes arbitrárias que caracterizam a solução geral (relacionáveis a condições iniciais u(t_0) e u'(t_0)).
  • A solução escrita com limites em t_0 é conveniente para aplicação prática em problemas com condições iniciais em t_0.
Forma final, compacta, da solução geral:
u(t)=C_2+C_1\int_{t_0}^{t}\exp\!\Big(-\int_{t_0}^{\tau}p(r)\,dr\Big)\,d\tau +\int_{t_0}^{t}\exp\!\Big(-\int_{t_0}^{\tau}p(r)\,dr\Big)\left(\int_{t_0}^{\tau}\exp\!\Big(\int_{t_0}^{s}p(r)\,dr\Big)f(s)\,ds\right)d\tau.
Dica rápida para a prova: faça a substituição v=u', resolva a EDO linear v'+p\,v=f com fator integrante \mu, obtenha v e integre para achar u. Sempre indique as duas constantes resultantes.

Resposta

u(t)=C_2+C_1\int_{t_0}^{t}\exp\!\Big(-\int_{t_0}^{\tau}p(r)\,dr\Big)\,d\tau +\int_{t_0}^{t}\exp\!\Big(-\int_{t_0}^{\tau}p(r)\,dr\Big)\left(\int_{t_0}^{\tau}\exp\!\Big(\int_{t_0}^{s}p(r)\,dr\Big)f(s)\,ds\right)d\tau,
onde t_0\in I é fixo e C_1,C_2\in\mathbb{R} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados