Encontre a solução do problema de valor inicial,
[5.] u^{\prime \prime}+(\tan t) u^{\prime}=\cos t, \quad u(0)=1, \quad u^{\prime}(0)=1 \quad em \quad-\pi / 2<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais no intervalo -\pi/2 < t < \pi/2. Dados do problema:
  • Equação: u''(t)+(\tan t)\,u'(t)=\cos t.
  • Condições iniciais: u(0)=1 e u'(0)=1.
    O objetivo é encontrar a função u(t) que satisfaz a equação e as duas condições iniciais no intervalo dado.

Passo 2

Observação útil para simplificar: a equação não contém o termo u sem derivada (isto é, não aparece u isolado), apenas u'' e u'. Então podemos reduzir a ordem definindo a nova função
v(t)=u'(t).
Com isso v'(t)=u''(t), e a equação original se transforma numa equação de primeira ordem para v:
v'(t)+(\tan t)\,v(t)=\cos t.
Agora vamos resolver essa equação de primeira ordem linear para v.

Passo 3

Método do fator integrante para resolver v'+p(t)v=q(t): o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big),
porque multiplicando a equação por \mu(t) obtemos (\mu v)'=\mu q.
No nosso caso p(t)=\tan t, então
\int \tan t\,dt = -\ln|\cos t|.
No intervalo -\pi/2<t<\pi/2 temos \cos t>0, então podemos escrever sem valor absoluto:
\int \tan t\,dt = -\ln(\cos t).
Logo o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\big(-\ln(\cos t)\big)=\frac{1}{\cos t}=\operatorname{sec} t.
Multiplicando a equação por \operatorname{sec} t obtemos
\operatorname{sec} t\,v'(t)+\operatorname{sec} t\tan t\,v(t)=(\operatorname{sec} t\,v(t))'=\operatorname{sec} t\cos t=1.
Integrando ambos os lados em relação a t,
\operatorname{sec} t\,v(t)=t+A,
onde A é constante de integração. Portanto
v(t)=u'(t)=\cos t\,(t+A).

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter u(t):
u(t)=\int u'(t)\,dt=\int \cos t\,(t+A)\,dt + B,
onde B é outra constante de integração. Separe a integral:
u(t)=\int t\cos t\,dt + A\int \cos t\,dt + B.
Calcule \int t\cos t\,dt por partes: escolha r=t e ds=\cos t\,dt. Então dr=dt e s=\sin t. Assim
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t + \cos t + C_1.
(onde C_1 é constante — que será absorvida em B). Também \int \cos t\,dt=\sin t + C_2. Portanto, colocando tudo e agrupando constantes:
u(t)=t\sin t + \cos t + A\sin t + B.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B.
Primeiro u(0)=1. Avaliando:
u(0)=0\cdot\sin 0 + \cos 0 + A\sin 0 + B = 1 + B.
Logo 1+B=1, de onde
B=0.
Agora usar u'(t)=v(t)=\cos t\,(t+A) e a condição u'(0)=1:
u'(0)=\cos 0\,(0+A)=A=1.
Portanto A=1 e B=0.

Passo 6

Substituindo A=1 e B=0 na expressão geral de u(t) obtemos
u(t)=t\sin t + \cos t + \sin t.
Agrupando termos:
u(t)=(t+1)\sin t + \cos t.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcular u'(t)=\cos t\,(t+1) e
u''(t)=-\sin t\,(t+1)+\cos t.
Então
u''(t)+\tan t\,u'(t)=\big(-\sin t\,(t+1)+\cos t\big)+\tan t\big(\cos t\,(t+1)\big)=\cos t,
confirma que a solução satisfaz a equação.

Resposta

u(t)=(t+1)\sin t + \cos t

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