Encontre a solução do problema de valor inicial,
[5.]
em
[5.]
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais no intervalo
. Dados do problema:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e as duas condições iniciais no intervalo dado.
Passo 2
Observação útil para simplificar: a equação não contém o termo
sem derivada (isto é, não aparece
isolado), apenas
e
. Então podemos reduzir a ordem definindo a nova função
Com isso
, e a equação original se transforma numa equação de primeira ordem para
:
Agora vamos resolver essa equação de primeira ordem linear para
.
Passo 3
Método do fator integrante para resolver
: o fator integrante é
porque multiplicando a equação por
obtemos
.
No nosso caso
, então
No intervalo
temos
, então podemos escrever sem valor absoluto:
Logo o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 4
Agora integramos
para obter
:
onde
é outra constante de integração. Separe a integral:
Calcule
por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
(onde
é constante — que será absorvida em
). Também
. Portanto, colocando tudo e agrupando constantes:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando:
Logo
, de onde
Agora usar
e a condição
:
Portanto
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na expressão geral de
obtemos
Agrupando termos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcular
e
Então
confirma que a solução satisfaz a equação.