Encontre a solução do problema de valor inicial,
[4.]
em
[4.]
Passo 1
O enunciado fornece um problema de valor inicial com as seguintes informações:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Pergunta: encontrar a solução
definida em um intervalo que contenha .
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada, isto é a equação obtida removendo o termo independente (o
):
Esta é uma equação diferencial separável. Escrevendo
e separando variáveis:
Integramos ambos os lados. Lembre que
e
, então
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a solução geral da homogênea:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
. Como o lado direito é uma constante, é natural tentar uma solução particular constante. Seja
com
constante. Substituindo na equação:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 4
Pela linearidade da equação, a solução geral da equação completa é soma da solução particular com a solução da homogênea:
onde
é constante a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Dessa igualdade segue
. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para provas): calcule
e confira na equação original.
Substituindo em
:
logo a solução satisfaz corretamente a equação. A expressão
é bem definida para todo
, portanto a solução está definida em qualquer intervalo
(em particular em
).