Encontre a solução do problema de valor inicial,
[4.] u^{\prime}+2 u=4, \quad u(0)=1, \quad em \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial com as seguintes informações:
  • Equação diferencial: u^{\prime}+2u=4.
  • Condição inicial: u(0)=1.
  • Pergunta: encontrar a solução u(t) definida em um intervalo I\subseteq\mathbb{R} que contenha 0.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada, isto é a equação obtida removendo o termo independente (o 4):
u^{\prime}+2u=0.
Esta é uma equação diferencial separável. Escrevendo u^{\prime}=\dfrac{du}{dt} e separando variáveis:
\frac{du}{u}=-2\,dt.
Integramos ambos os lados. Lembre que \int \dfrac{du}{u}=\ln|u| e \int -2\,dt=-2t, então
\ln|u|=-2t+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a solução geral da homogênea:
u_h(t)=C e^{-2t},
onde C=\pm e^{C_1} é uma constante arbitrária real.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular u_p(t) da equação completa u^{\prime}+2u=4. Como o lado direito é uma constante, é natural tentar uma solução particular constante. Seja u_p(t)=A com A constante. Substituindo na equação:
0+2A=4 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Portanto uma solução particular é u_p(t)=2.

Passo 4

Pela linearidade da equação, a solução geral da equação completa é soma da solução particular com a solução da homogênea:
u(t)=u_p(t)+u_h(t)=2+Ce^{-2t},
onde C é constante a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial u(0)=1:
u(0)=2+Ce^{0}=2+C=1.
Dessa igualdade segue C=1-2=-1. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
u(t)=2- e^{-2t}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para provas): calcule u^{\prime}(t) e confira na equação original.
u^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2-e^{-2t}\bigr)=0-(-2)e^{-2t}=2e^{-2t}.
Substituindo em u^{\prime}+2u:
u^{\prime}+2u=2e^{-2t}+2\bigl(2-e^{-2t}\bigr)=2e^{-2t}+4-2e^{-2t}=4,
logo a solução satisfaz corretamente a equação. A expressão 2-e^{-2t} é bem definida para todo t\in\mathbb{R}, portanto a solução está definida em qualquer intervalo I\subseteq\mathbb{R} (em particular em I=\mathbb{R}).

Resposta

u(t)=2-e^{-2t}
I=\mathbb{R}

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