60 % das casas de uma cidade assinam TV a cabo. Você seleciona seis casas aleatoriamente e pergunta em cada uma delas se tem assinatura de TV a cabo. Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x e representea graficamente (histograma de P(x)). (Valor 0,75)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que 60% das casas de uma cidade têm assinatura de TV a cabo. Você vai escolher 6 casas aleatoriamente e perguntar em cada uma se elas têm essa assinatura. Precisamos construir uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória $ x $, que representa o número de casas com assinatura de TV a cabo entre as 6 escolhidas. Além disso, vamos representar essa distribuição em um histograma de $ P(x) $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de probabilidade binomial, que é aplicável quando temos sucessos ou fracassos em tentativas independentes, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade binomial. Ela descreve a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante ($ p $).
A fórmula para calcular a probabilidade binomial é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{x} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ x $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • $ (1-p) $ é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Número de tentativas ($ n $): 6 casas
  • Probabilidade de sucesso ($ p $): 60% ou 0,6
  • Variável aleatória ($ x $): número de casas com assinatura de TV a cabo (pode variar de 0 a 6)
Agora, vamos calcular $ P(x) $ para cada valor de $ x $ de 0 a 6 usando a fórmula binomial.

Passo 4

Vamos calcular cada $ P(x) $:
  1. Para $ x = 0 $:
P(x)
  1. Para $ x = 1 $:
x = 0
  1. Para $ x = 2 $:
P(0) = binom60 (0,6)^0 (0,4)^6 = 1 times 1 times 0,004096 = 0,004096
  1. Para $ x = 3 $:
x = 1
  1. Para $ x = 4 $:
P(1) = binom61 (0,6)^1 (0,4)^5 = 6 times 0,6 times 0,01024 = 0,036864
  1. Para $ x = 5 $:
x = 2
  1. Para $ x = 6 $:
P(2) = binom62 (0,6)^2 (0,4)^4 = 15 times 0,36 times 0,0256 = 0,13824

Passo 5

Agora, vamos organizar esses valores em uma tabela para facilitar a visualização:
$ x $ $ P(x) $
0 0,004096
1 0,036864
2 0,13824
3 0,27648
4 0,31104
5 0,186624
6 0,046656

Passo 6

Por fim, vamos representar essa distribuição em um histograma. Cada valor de $ x $ no eixo horizontal terá uma barra cuja altura corresponde a $ P(x) $.
Como não podemos desenhar aqui, vou descrever como seria:
  • No eixo horizontal (x), colocamos os valores de 0 a 6.
  • No eixo vertical (y), colocamos as probabilidades correspondentes.
  • Cada barra terá uma altura proporcional a $ P(x) $:
    • $ x = 0 $: 0,004096
    • $ x = 1 $: 0,036864
    • $ x = 2 $: 0,13824
    • $ x = 3 $: 0,27648
    • $ x = 4 $: 0,31104
    • $ x = 5 $: 0,186624
    • $ x = 6 $: 0,046656

Resposta

A distribuição de probabilidade para a variável aleatória $ x $ é:
$ x $ $ P(x) $
0 0,004096
1 0,036864
2 0,13824
3 0,27648
4 0,31104
5 0,186624
6 0,046656
E o histograma de $ P(x) $ será uma representação gráfica dessas probabilidades para cada valor de $ x $.

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