das casas de uma cidade assinam TV a cabo. Você seleciona seis casas aleatoriamente e pergunta em cada uma delas se tem assinatura de TV a cabo. Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x e representea graficamente (histograma de P(x)). (Valor 0,75)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que 60% das casas de uma cidade têm assinatura de TV a cabo. Você vai escolher 6 casas aleatoriamente e perguntar em cada uma se elas têm essa assinatura. Precisamos construir uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória $ x $, que representa o número de casas com assinatura de TV a cabo entre as 6 escolhidas. Além disso, vamos representar essa distribuição em um histograma de $ P(x) $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de probabilidade binomial, que é aplicável quando temos sucessos ou fracassos em tentativas independentes, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade binomial. Ela descreve a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante ($ p $).
A fórmula para calcular a probabilidade binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{x} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ x $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
- $ (1-p) $ é a probabilidade de fracasso.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Número de tentativas ($ n $): 6 casas
- Probabilidade de sucesso ($ p $): 60% ou 0,6
- Variável aleatória ($ x $): número de casas com assinatura de TV a cabo (pode variar de 0 a 6)
Agora, vamos calcular $ P(x) $ para cada valor de $ x $ de 0 a 6 usando a fórmula binomial.
Passo 4
Vamos calcular cada $ P(x) $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
- Para $ x = 5 $:
- Para $ x = 6 $:
Passo 5
Agora, vamos organizar esses valores em uma tabela para facilitar a visualização:
$ x $ | $ P(x) $ |
---|---|
0 | 0,004096 |
1 | 0,036864 |
2 | 0,13824 |
3 | 0,27648 |
4 | 0,31104 |
5 | 0,186624 |
6 | 0,046656 |
Passo 6
Por fim, vamos representar essa distribuição em um histograma. Cada valor de $ x $ no eixo horizontal terá uma barra cuja altura corresponde a $ P(x) $.
Como não podemos desenhar aqui, vou descrever como seria:
- No eixo horizontal (x), colocamos os valores de 0 a 6.
- No eixo vertical (y), colocamos as probabilidades correspondentes.
- Cada barra terá uma altura proporcional a $ P(x) $:
- $ x = 0 $: 0,004096
- $ x = 1 $: 0,036864
- $ x = 2 $: 0,13824
- $ x = 3 $: 0,27648
- $ x = 4 $: 0,31104
- $ x = 5 $: 0,186624
- $ x = 6 $: 0,046656
Resposta
A distribuição de probabilidade para a variável aleatória $ x $ é:
$ x $ | $ P(x) $ |
---|---|
0 | 0,004096 |
1 | 0,036864 |
2 | 0,13824 |
3 | 0,27648 |
4 | 0,31104 |
5 | 0,186624 |
6 | 0,046656 |
E o histograma de $ P(x) $ será uma representação gráfica dessas probabilidades para cada valor de $ x $.