60 O conjunto solução de |x+3|+|x-4|<8 é um intervalo de comprimento
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x+3| + |x-4| < 8
Este é um problema de valor absoluto e vamos usar a ideia de que cada módulo gera uma expressão linear em regiões determinadas pelos pontos onde o argumento do módulo muda de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde x+3=0 e x-4=0, ou seja,
x = -3 \quad\text{e}\quad x = 4.
Isso nos divide a reta em três pedaços:
  1. x < -3
  2. -3 \le x < 4
  3. x \ge 4

Passo 3

Analisamos cada região:
  1. Em x < -3, temos x+3<0 e x-4<0, então
|x+3|=-x-3, \quad |x-4|=-x+4,
e a soma é
|x+3|+|x-4| = (-x-3)+(-x+4) = -2x+1.
A desigualdade fica
-2x+1 < 8 \quad\Longrightarrow\quad -2x < 7 \quad\Longrightarrow\quad x > -3{,}5.
Juntando x< -3, em x< -3 obtemos
-3{,}5 < x < -3.
  1. Em -3 \le x < 4, temos x+3\ge0 e x-4<0, logo
|x+3|=x+3, \quad |x-4|=-x+4,
e
|x+3|+|x-4| = (x+3)+(-x+4) = 7.
Como 7<8 para todo x nesse intervalo, toda a região -3 \le x <4 satisfaz.
  1. Em x \ge 4, x+3\ge0 e x-4\ge0, então
|x+3|=x+3, \quad |x-4|=x-4,
e
|x+3|+|x-4| = (x+3)+(x-4) = 2x-1.
A desigualdade é
2x-1 < 8 \quad\Longrightarrow\quad 2x < 9 \quad\Longrightarrow\quad x < 4{,}5.
Combinando com x\ge4, obtemos
4 \le x < 4{,}5.

Passo 4

Unindo os três pedaços, a solução é
(-3{,}5,\,-3)\,\cup\,[ -3,\,4 )\,\cup\,[4,\,4{,}5) \;=\; (-3{,}5,\;4{,}5).
Este é um único intervalo aberto de comprimento
4{,}5 - (-3{,}5) = 8.

Resposta

8 (alternativa d) )

Exercícios relacionados