610 domínio da função real f(x)=\sqrt{\ln \left(x^{2}-5 x+5\right)} é
a) ]-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}[\cup] \frac{5+\sqrt{5}}{2},+\infty[
b) ]-\infty, 1] \cup[4,+\infty[
c) \left\{\frac{5-\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{5}}{2}\right\}
d) ] 1,4 [
e) ]-\infty,+\infty[

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\ln\bigl(x^{2}-5x+5\bigr)}.
Para f(x) existir como função real, precisamos de duas condições:
  1. O logaritmo deve estar bem definido, isto é,
x^{2}-5x+5>0.
  1. O valor dentro da raiz deve ser não negativo, ou seja,
\ln\bigl(x^{2}-5x+5\bigr)\ge0.

Passo 2

Note que \ln(u)\ge0 equivale a u\ge1, e essa condição já garante u>0. Logo, basta resolver
x^{2}-5x+5\ge1.

Passo 3

Subtraindo 1 de ambos os lados, fica
x^{2}-5x+4\ge0.
O polinômio x^{2}-5x+4 fatoriza como
(x-1)(x-4)\ge0.
Uma inequação produto é não negativo quando ambos os fatores são não negativos ou ambos não positivos. Pelo estudo de sinal, isso ocorre para
x\le1\quad\text{ou}\quad x\ge4.

Passo 4

Portanto, o domínio de f é
(-\infty,1]\cup[4,\infty),
o que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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