6-75 A stationary water tank of diameter
is mounted on wheels and is placed on a nearly frictionless level surface. A smooth hole of diameter
near the bottom of the tank allows water to jet horizontally and rearward and the water jet force propels the system forward. The water in the tank is much heavier than the tank-and-wheel assembly, so only the mass of water remaining in the tank needs to be considered in this problem. Considering the decrease in the mass of water with time, develop relations for (a) the acceleration, (b) the velocity, and (c) the distance traveled by the system as a function of time.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido, com os dados que vamos usar).
- Diâmetro do tanque:
. Área da seção transversal do tanque (cilíndrica): . - Diâmetro do orifício:
. Área do orifício: . - Superfície quase sem atrito (forças horizontais externas desprezíveis).
- A massa do conjunto tanque+rodas é desprezível; considera-se apenas a massa da água no tanque.
- A água sai pelo orifício formando um jato horizontal e para trás, o que impulsiona o tanque para frente.
- A massa de água
diminui com o tempo. Quer-se relacionar, em função do tempo : - (a) a aceleração
do sistema; - (b) a velocidade
do sistema (supondo ); - (c) a distância
percorrida (supondo ).
- (a) a aceleração
Variáveis que usaremos explicitamente:
-
= densidade da água. -
= altura do nível de água no tanque; . -
= velocidade de saída da água relativa ao tanque (positivo em módulo, dirigida para trás).
Passo 2
Expressar a massa de água e a velocidade de saída do jato (Bernoulli / Torricelli).
- Massa de água no tanque:
- Pela fórmula de Torricelli (caso usual de jato saindo por orifício pequeno, desprezando perdas e efeito do movimento horizontal sobre a cabeça hidrostática), a velocidade de saída relativa ao tanque é dada por
Explicação curta do porquê: a energia potencial por unidade de massa
se transforma em energia cinética
na saída (pressão atmosférica fora e na superfície), dando
. Aqui
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Expressar a taxa de variação da massa (vazão mássica).
- A vazão volumétrica (em módulo) que sai pelo orifício é
. - A vazão mássica (módulo) é
. - Como
diminui, sua derivada é negativa:
Observação sobre sinais:
; o termo
é o valor positivo da taxa de massa expelida por unidade de tempo.
Passo 4
Escrever o balanço de quantidade de movimento (equação tipo “foguete” / impulso).
- Em ausência de forças externas horizontais, a variação da quantidade de movimento do sistema (água restante no tanque) é igual ao impulso fornecido pelo jato que sai para trás.
- Para um sistema que perde massa, a forma prática é
onde
é a velocidade do jato relativa ao tanque (módulo) e
é a taxa positiva de massa expelida. Aqui
(saída para trás relativa ao tanque). Intuição: cada pedaço de massa expelida, por ter velocidade relativa
para trás, carrega momento que produz um impulso
para frente no tanque.
- Portanto:
Passo 5
Substituir
e
nas equações e simplificar.
- Usando
(do Passo 3), obtemos . Substituindo na equação do Passo 4:
- Substituir
e (do Passo 2 e Passo 1):
- Então o lado direito fica
- Assim a equação de movimento fica
Passo 6
Cancelar
e obter a aceleração, que é independente de
.
- Se
, podemos dividir ambos os lados por e obter
- Portanto a aceleração é constante no tempo (surpresa boa!): definir
- Em termos dos diâmetros, as áreas cancelam o
, logo
portanto
Passo 7
Integrar para obter a velocidade
.
- Como
é constante e supondo condição inicial ,
- Substituindo
:
Passo 8
Integrar para obter a posição
.
- Com
e ,
- Substituindo
:
ou em diâmetros
Passo 9
(Complemento didático) Como a massa varia no tempo — expressão útil se quiser
e instante em que o tanque esvazia.
- A equação de variação da massa é
onde
. Integrando,
ou seja
até o tempo de esvaziamento
Aqui
é a massa inicial da água (com
a altura inicial).